Это старая версия v2025b2/кружочек за 27.02.2024 00:43:46.

кружочек

наш "кружочек" это научный семинар, на котором выступают разные докладчики.

доклады делаются по всевозможным математическим темам. в 2023-24 учебном году доклады рассчитаны на аудиторию 9-10 классов, однако в качестве слушателей приглашаются все желающие (в том числе ученики других школ). подписывайтесь на наш телеграм-канал с текущими анонсами, видеозаписями и обсуждениями https://t.me/kruzhochek179

вы тоже можете сделать доклад, для этого нужно связаться с руководителем семинара (Андрей Рябичев, ryabichev@179.ru, tg +79164326995). также вы можете присылать заявки, если хотите послушать про какой-то конкретный математический сюжет.

кружочек проходит очно по пятницам с 16:15 до 17:45 в аудитории 302. приходите!

СПИСОК ДОКЛАДОВ 2023-34, ИНОГДА ОБНОВЛЯЕТСЯ

[1 марта, 16:15, ауд. 302]. Мика Нелимов, “Комбинаторные суммы с ограничением на вычеты''

Доклад будет кружится вокруг всевозможных обобщений известного комбинаторного тождества:
$C_n^0 + C_n^2 + \ldots + C_n^{2k} + \ldots = C_n^1 + C_n^3 + \ldots + C_n^{2k+1} + \ldots = 2^{n-1}.$
Мы обсудим как искать такую же сумму, но не для каждого второго, а для каждого третьего и каждого $m$-го члена.

Также мы поговорим про обобщение треугольника Паскаля — симплекс Паскаля, и его однородные разбиения.

Кроме того, мы попробуем применить те же соображения к суммам других последовательностей и найдём комбинаторный смысл у выражений $[en!]$ и $[\sin(1)n!]$.

[17 февраля, ауд. 308]. МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЯ НА ДНЕ МАТЕМАТИКА. СЕКЦИЯ 7–9 КЛАССОВ

13:00 – 13:55, Владлен Анатольевич Тиморин (профессор ФМ ВШЭ), "(Само)подобие"

Мы обсудим несколько примеров из разных областей математики, где возникают идеи (само)подобия. Являются ли эти примеры проявлением одной и той же фундаментальной истины, или же только поверхностными аналогиями — судить слушателям. Однако представление о данном круге идей в любом случае будет полезно тем, кто собирается решать новые задачи в математике или естествознании.

14:10 – 15:05. Богдан Бутырин (kvantland, студент ФКН ВШЭ), "Как придумать олимпиадную задачу?"

Когда я учился на первом курсе, в домашнем задании по Дискретной математике мне встретилась следующая задача:

Натуральные числа разбиты на два непересекающихся подмножества, $A$ и $B$, причем $A$ не содержит трёхчленных арифметических прогрессий. Обязательно ли в $B$ содержится бесконечная арифметическая прогрессия?

Сначала я пошёл по сложному пути и не пришёл к решению... Однако именно так получились задачи 9.6 и 11.6 Московской математической олимпиады 2023!

На лекции обсудим решения вышеупомянутых задач и подробно разберём, как именно я дошёл до условия олимпиадной задачи и какие вопросы я себе задавал, когда исследовал данный сюжет!

[17 февраля, ауд. 306]. МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЯ НА ДНЕ МАТЕМАТИКА. СЕКЦИЯ 9–11 КЛАССОВ

13:00 – 13:55. Дмитрий Александрович Дагаев (зав. лабораторией исследований спорта ВШЭ, доцент РЭШ»), "Поведенческие провалы теории игр"

Теория игр изучает принципы принятия решений людьми в условиях стратегического взаимодействия, когда решения одних людей влияют на решения других. Одной из основных аксиом теории игр является предположение о том, что каждый максимизирует свою собственную выгоду. Однако ряд экспериментов показывает, что в реальной жизни поведение людей устроено сложнее. Мы поиграем в несколько игр и убедимся, что в жизни есть место нерациональности (или что определение рациональности требует уточнений).

14:10 – 15:05. Алексей Львович Городенцев (профессор ФМ ВШЭ), "Цепные дроби и диофантовы приближения"

Каждое вещественное число $\a\in\mathbb{R}$ имеет бесконечно много различных рациональных приближений $\frac pq\in\mathbb{Q}$ с погрешностью $|a-\frac pq|<\frac1{q^2}$. Мы обсудим, как устроены эти приближения, как они связаны с разложением числа $a$ в цепную дробь
$a=a_0+\cfrac1{a_1+\cfrac1{a_2+\cfrac1{a_3+\cdots}}}$
и с решением уравнения Пелля $x^2-dy^2=1$. Разговор пойдёт на геометрическом языке.

15:20 – 16:00. Сергей Валерьевич Маркелов, "Открытые проблемы элементарной геометрии"

Многие считают: открытые проблемы современной математики очень сложны для восприятия — чтобы даже и условие понять, много лет учиться надо. Иногда это верно. Но есть и такие нерешённые задачи, условие которых понятно школьнику, а решения — не знает никто в мире. О части из них планирую поведать.

[17 февраля, ауд. 308]. МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЯ НА ДНЕ МАТЕМАТИКА. МОЛОЖЁЖНАЯ СЕКЦИЯ

15:20 – 16:00. Константин Щербаков, "Многочлены Чебышёва, их замечательные свойства, и связь с числами Каталана"

Вы, возможно, слышали, что отношение соседних чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению. Оказывается, похожие факты бывают верны и для других математических объектов. Например, отношение соседних многочленов Чебышёва (после некоторой несложной замены) стремится к степенному ряду, коэффициенты в котором — числа Каталана!

На докладе мы узнаем, что такое многочлены Чебышёва, и выясним, почему же они связаны с числами Каталана. Кроме того, упомянем и, возможно, докажем некоторые другие замечательные свойства этого семейства многочленов, благодаря которым они периодически возникают в самых разных задачах.

[16 февраля, 16:15, ауд. 302]. Лев Азманов, "Точки Фейербаха и теорема Фонтене"

Теорема Фейербаха — классическая теорема планиметрии и, наверное, одна из самых красивых. Точка, в которой касаются вписанная окружность и окружность Эйлера, порождает множество замечательных результатов. О ней и обобщённых точках Фейербаха и пойдет речь.

Центрально теоремой, которую мы докажем, будет теорема Фонтене (Куланина?). Оказывается, что все педальные окружности некоторой прямой (не одной) пересекаются в одной точке. А что будет, если взять прямую $OI$, где $O$ — центр описанной окружности, а $I$ — центр вписанной?

Доклад будет довольно элементарным, так что приглашаются все кто знаком со вписанными углами и гомотетией. Будет много красивых доказательств и результатов, приходите:)

[9 февраля, 16:15, ауд. 302]. Саша Яшкина, "Эллипсы и фокусы"

Сферы Данделена — замечательная конструкция, связывающая два определения эллипса — классическое и определение в качестве конического сечения. И не только эллипса, но и других кривых второго порядка. О ней и пойдет речь на докладе.

А так же фокус: вырежьте из бумаги круг, поставьте на нем точку и загибайте края круга к этой точке. Получится эллипс, но почему? Узнаете на докладе!

Будет много красивых картинок и не менее красивых доказательств. Приходите :)

[2 февраля, 16:15, ауд. 302]. Николай Николаевич Андреев, "Математическая составляющая: математика окружающего мира"

В интерактивной лекции будет обсуждаться математическая «составляющая» как крупнейших достижений цивилизации, так и математическая «начинка» привычных, каждодневных вещей. Будут использованы материалы книги Математическая составляющая и проекта Математические этюды.

[26 января 2024, 16:15, ауд. 302]. Фотиния Васильева, Георгий Березин, "Накрытия поверхностей"

На докладе мы расскажем, что такое накрытие поверхностей и что такое разветвлённое накрытие поверхностей. Разберемся, для поверхностей рода больше нуля, при каких степенях точек ветвления существует накрытие, а при каких нет. И для тех степеней точек, для которых существует разветвлённое накрытие, научимся строить пример. Найдлм свойства накрытия сферы. Поймаем что такое числа Гурвица (но к сожалению, не научимся их считать). И порисуем красивые ленточные графы.

[19 января 2024, 16:15, ауд. 302]. Стрелкова Наталия Павловна, "Внутренняя метрика и экстремальные задачи на многогранниках"

Для начала введём внутреннюю метрику на полу квартиры, то есть как ощущает расстояния жук, не умеющий заползать на вертикальные поверхности. И немножко поговорим про абстрактные метрические пространства. А потом поговорим про муравья на поверхности многогранника. И кратчайшие пути. А может быть и минимальные сети. Будут красивые картинки, предварительных знаний особо не требуется.

[12 января 2024, 16:15, ауд. 302]. Дмитрий Сутый, "Математика, стоящая за обработкой сигналов. Или можно просто FFT"

Почему Быстрое Преобразование Фурье часто называют главным алгоритмом 20 века? Как усилия совместной группы американских и советских ученых помогла ядерному разоружению? Что такое преобразование Фурье в целом и как можно разбить волну на частоты или научиться перемножать многочлены за $O(N\log N)$. Вместе найдем ответы на все эти вопросы.

Уровень на входе: вообще будем ориентироваться на аудиторию, но было бы неплохо знать, что такое асимптотика, понимать немного в комплексных числах, не бояться интегрирования, знать, что такое метрика и норма (нужны только самые основы для понимания)

[28 декабря (четверг), 16:15, ауд. 302]. Игорь Эльман, "Введение в асиметричную криптографию"

Легко представить, как зашифровать сообщение, если у собеседников уже есть известный им (и неизвестный злоумышленникам) общий ключ. Примеры мы знаем в том числе из художественных произведений (например, пляшущие человечки Конан-Дойля). А возможно ли зашифровать сообщение, если общего ключа у собеседников нет, а злоумышленник при этом может читать все сообщения? Кажется, что это невозможно. Но оказывается, что возможно: подобные алгоритмы используютcя в Телеграме, Вотсапе и протоколе HTTPS. Мы разберем несколько таких алгоритмов и, если останется время и желание у слушателей, по касательной обсудим, как эти идеи развиваются в электронную цифровую подпись и блокчейн.

Доклад подразумевается как первое знакомство с темой. Слушатели уже знакомые в общих чертах с алгоритмами Диффи—Хеллмана и RSA вряд ли узнают для себя что-то новое. Докладчик рассчитывает, что слушатели знакомы с основными результатами в делимости целых чисел, но в остальном не предполагает какой-то особой математической подготовки. Все необходимые теоремы будут сформулированы и проиллюстрированы примерами по ходу доклада.

[22 декабря, 16:15, ауд. 302]. Семён Григорьевич Слободник, "Точки Ферма и Торричелли и применение анализа в геометрии"

Я хочу рассказать о точках Ферма и Торричелли и ответить на все возникающие здесь вопросы — в частности, рассмотреть не только треугольники с углами меньшими $120^\circ$. Все доказательства будут даны в двух видах: элементарное и с привлечением начальных знаний по мат.анализу. Здесь используется много фактов из планиметрии: неравенство и теорема Птолемея, композиция поворотов…

Среди новых — которые я не обсуждал со школьниками — будут такие вопросы, как например доказательство того, что прямые, соединяющие вершины треугольника с вершинами правильных треугольников, построенных на противоположных соответствующим вершинам сторонах треугольника во внешнюю сторону, пересекаются в одной точке.

Из матана мне нужна теорема о том, что непрерывная действительная функция на метрическом компакте достигает максимума и умение вычислять производную от функции $\rho(A,X)$, где $A$ — фиксированная точка, а точка $X$ пробегает некоторую прямую $l$. Все факты будут доказаны.

В качестве задачи для самостоятельного размышления хочется посмотреть, что будет, если треугольник заменить на тетраэдр. Ответ я не знаю.

[15 декабря, 16:15, ауд. 302]. Михаил Блудов, "Гипотеза Кнезера: на заре топологической комбинаторики"

Теоремы о неподвижных точках, такие как теорема Брауэра, или теорема Борсука-Улама — классические и наиболее широко применимые топологические теоремы. В частности, теорема Борсука-Улама утверждает, что для любого отображения n-мерной сферы в $n$-мерное евклидово пространство найдутся $2$ противоположные точки сферы, образы которых совпадут.

Теперь посмотрим на комбинаторику. Задача о хроматическом числе графа — классическая комбинаторная задача. В частности, в 1955 году М.Кнезер сформулировал следующую гипотезу. Пусть у нас есть множество из $n$ элементов, и мы рассматриваем всевозможные его $k$-элементные подмножества. Два таких подмножества соединим ребром, если их пересечение пусто (такие графы теперь называются кнезеровскими). Верно ли, что если $n>2k-2$, то хроматическое число нашего графа ровно $n-2k+2$?

В 1977 году эта гипотеза была доказана Л.Ловасом, и при помощи топологии! Это послужило рождением новой области математики, топологическим методам в комбинаторике.

Мы же обсудим другое (тоже топологическое и не менее красивое) доказательство гипотезы Кнезера. На примере этого классического сюжета мы посмотрим на совершенно волшебное пересечение топологии и комбинаторики!

[8 декабря, 16:15, ауд. 302]. Андрей Рябичев, "Корни многочленов и касательные к окружностям"

Рассмотрим многочлен третьей степени от одной переменной $f(x)$, имеющий три корня. Отметим эти корни на оси абсцисс и проведём через них вертикальные прямые $k, l, m$. Легко показать, что существует правильный треугольник $ABC$ с вершинами на соответствующих прямых.

Оказывается, если отметить вписанную окружность $\omega$ треугольника $ABC$, то вертикальные касательные к $\omega$ пройдут через точки экстремума $f(x)$, а вертикальная прямая из центра $\omega$ пройдёт через точку перегиба $f(x)$.

Мы докажем это удивительное наблюдение, а также обобщим его на случай правильного $n$-угольника и соответствующего многочлена n-ной степени. По пути нам встретятся счёт в комплексных координатах и многочлены Чебышёва, мы буквально увидим как седая наука соседствует с модными олимпиадными методами!

Для понимания доклада желательно знать, как устроено умножение комплексных чисел, но мы и это повторим, если будут знать не все. Так что приходите — в конце мы также обсудим вопросы, оставшиеся открытыми при решении этой задачи, вдруг у кого-нибудь появятся какие идеи.

Доклад основан на совместной (пока не опубликованной) статье с Костей Щербаковым.

[1 декабря, 16:15, ауд. 302]. Валера Миронов, "Теорема Шпрага-Гранди"

Ним — игра, в которой есть два игрока и несколько кучек камней; на каждом ходу игрок берёт любое число камней из одной кучки по выбору.

Мы обсудим теорему Шпрага-Гранди о том, что любая уважающая себя игра в некотором смысле эквивалентна ниму и даже ниму с одной кучкой. Начнём с обсуждения стратегии в ниме, докажем теорему, посмотрим на разные примеры и закончим открытыми проблемами.

[24 ноября, 16:15, ауд. 302]. Артём Барков, "Композиции многочленов"

Мы поговорим про необычную операцию с многочленами — разложение в композицию
$f(x) = f_1(f_2(. . . f_k(x) . . .))$.
Понятно, что, как правило, $f_1(f_2(x)) \ne f_2(f_1(x))$, то есть переставлять элементы разложения так же, как множители, нельзя.

Тем не менее, бывают многочлены, которые раскладываются в композицию (неразложимых многочленов степени $>1$) более чем одним способом. О том, как эти способы связаны между собой, говорит теорема Ритта. Например, оказывается, что число элементов $k$ в таком разложении всегда одинаковое.

В доказательстве используется отчаянная и продвинутая техника, такая как расширения полей и теорема Люрота — попробуем с нею разобраться. Будет сложно и интересно, и может быть даже что-то понятно. Приходите!

[17 ноября, 16:15, ауд.302]. Александр Мирошников, "Введение в сложность вычислений. NP-полнота"

В жизни нам приходится постоянно решать оптимизационные задачи: путешественник планирует маршрут, пытаясь минимизировать свои затраты; программист подбирает параметры модели, пытаясь достичь максимальной точности; математик пытается коротко доказать или опровергнуть некоторую гипотезу.

На практике часто эти задачи сводятся к перебору всевозможных вариантов. Но можно ли решать необходимые на практике задачи быстро? И что вообще мешает нам решать их эффективно? А главное, равны ли P и NP ??!!

Нет, постойте! Что за P и NP? Откуда они тут взялись и... почему они выделены жирным? Слишком много вопросов.

Сложность вычислений — раздел теоретической Computer Science, изучающий в целом как разные алгоритмы взаимодействуют между собой; за какое время или память можно решить поставленную задачу, а за какое получится очень вряд ли.

План занятия:
• Мы формализуем понятие «алгоритмической вычислимости», познакомимся с машиной Тьюринга и вычислением на ней.
• Введем классы P и NP, полиномиальную сводимость и рассмотрим её свойства.
• Познакомимся с как можно большим числом NP-полных задач и, возможно, даже что-то докажем.

[10 ноября, 16:15, ауд. 302]. Даня Макаров "Бесконечная теорема Рамсея, Канторово множество и щепотка логики"

Наверное, вы знаете, что среди любых 6 людей есть либо 3 попарно знакомых, либо 3 попарно незнакомых. Теорема Рамсея утверждает, что для любого натурального $k$ найдётся $N$ такое, что среди любых $N$ людей есть либо $k$ попарно знакомых, либо $k$ попарно незнакомых. Её можно доказать по индукции, но мы не будем так делать. Мы докажем бесконечную теорему Рамсея и выведем и неё конечную. Чтобы сделать это, мы по бесконечному множеству конечных контрпримеров построим бесконечный контрпример.

Построение бесконечной штуки по бесконечному множеству конечных устроено так: нужно найти у конечных штук всё возрастающие общие куски и вырастить из них бесконечную штуку. Для этого пространство наших штук должно быть «не слишком большим»: если в нём можно сбежать, строя новые штуки, не имеющие общих частей со старыми, ничего не получится. Такое свойство пространства называют компактностью. Например, из-за компактности отрезка любая последовательность точек отрезка имеет бесконечную сходящуюся подпоследовательность. Конкретнее, чтобы вывести из бесконечной теоремы Рамсея конечную, можно воспользоваться компактностью Канторова множества (или гомеоморфного ему множества целых $p$-адических чисел).

Зачем доказывать конечные теоремы Рамсея с помощью бесконечных, если можно нормально? Бывает так, что нормально доказать очень сложно или невозможно. Мы обсудим усиленную теорему Рамсея для гиперграфов, которую несложно доказать с помощью бесконечной версии. Однако, как утверждает теорема Париса-Харрингтона, эту усиленную теорему Рамсея невозможно доказать в арифметике Пеано — стандартной аксиоматике натуральных чисел, в которой можно формализовать обычные комбинаторные рассуждения. Мы не докажем недоказуемость, но обсудим контекст.

[4 ноября (суббота), 11:00, зум]. Андрей Рябичев, "Обсуждение задач семинара"

я расскажу про несколько тем, по которым на кружочке ещё не было докладов — но их хочется услышать! — из самых разных разделов математики (логика, теория графов, топология, комбинаторика, вероятность, теория чисел, линейная алгебра...). для некоторых тем уже есть потенциальные докладчики, другие слоты всё ещё пустуют.

хочется узнать, что думает об этом публика — вы можете поучаствовать в обсуждении тем (в том числе не вызываясь делать по ним доклад, только с позиции слушателя), и даже предложить свои.

[27 октября, 16:15, ауд. 302]. Алексей Суворов, "Теорема Кези и геометрия на окружностях"

Есть формула длины вектора с координатами $x,y$: $\sqrt{x^2+y^2}$. Но что будет, если поменять плюс на минус? Тогда получится альтернативная геометрия, в которой вместо окружности будет гипербола $x^2-y^2=r^2$. Большинство теорем, верных в евклидовой геометрии, здесь тоже верны.

Мы разберем аналоги некоторых явлений из евклидовой геометрии, например, степень точки и инверсию, а также $N$-ные отношения (обобщение двойных).

Потом мы найдем связь между окружностями в обычной геометрии и трехмерным пространством с нестандартной метрикой.

С помощью этого мы докажем и обобщим теорему Кези (усиление теоремы Птолемея для 4 окружностей, касающихся данной).

В зависимости от оставшегося времени могу рассказать о других необычных геометриях (например, про геометрию, в которой скалярное произведение это не билинейная, а трилинейная или $n$-линейная функция).

[20 октября, 16:15, ауд. 302]. Даша Брюквина, "Математика постулатов квантовой механики и уравнения Шрёдингера"

Одной из самых сложных и интересных задач науки является попытка описать физические объекты и процессы математические языком.

На своей лекции я постараюсь показать, на какой математической базе стоит представление человечества о материи и энергии. Также расскажу о том, какие постулаты придумали учёные, чтобы на их основе описать весь микромир вокруг нас. И напоследок расскажу, как из математических формул рождается квантовое шифрование.

[13 октября, 16:15, ауд. 302]. Константин Щербаков, "Проективные инволюции в планиметрии"

Двойным отношением $(A,B;C,D)$ четырёх точек на прямой называется выражение $AC/CB : AD/DB$, где все отрезки считаются направленными.

Поговорим о том, почему бывает полезно думать об отображениях, сохраняющих двойные отношения, и почему среди таких отображений особо важны инволюции — отображения, дающие тождественное преобразование при композиции с собой.

Докажем теорему Дезарга об инволюции, посмотрим, как она обобщает другие известные утверждения планиметрии, и продемонстрируем, как это всё может пригодиться при доказательстве геометрических утверждений.

[29 сентября, 16:15, ауд. 302]. Марк Пименов, "Тривиальные хроматические многочлены и не тривиальные оценки

Многие знают теорему о 4 красках. Она оказалось не только интересной сама по себе, но и при попытках её решения человечество заметила много забавных вещей. Одной из таких являются хроматические многочлены.

Также на лекции я собираюсь обсудить не только хроматические многочлены, но и некоторые способы оценок хроматических чисел, как например какие-то относительно известных вроде Теоремы Брукса, так и какие-то менее известные как оценки через циклы.

Для 100% понимания лекции желательно знать что такое блок в графе и как они могут меж собой взаимодействовать (ну в случае чего, я думаю, это будет проговорено)

[22 сентября (снова пятница), 16:15, ауд. 302]. Андрей Рябичев, "Максимальная степень отображения между поверхностями

Пусть даны замкнутые поверхности $M$ и $N$ и непрерывное отображение $f:M\to N$ степени $d>0$. Тогда имеет место неравенство

$\chi(M)\le d\cdot\chi(N).$

Поверхности — это, например, сферы с ручками, а отображение $f$ накрывает первой поверхностью вторую. Буква $\chi$ обозначает эйлерову характеристику (для сферы с $g$ ручками она равна $2-2g$). Самое загадочное число — степень $f$ — это минимальное количество слоёв у $f$, если его разрешается непрерывно деформировать.

Это неравенство позволяет оценивать возможную степень: например, степень отображения из поверхности рода 12 в поверхность рода 3 может быть не больше 5.

Мы попробуем доказать это неравенство, предварительно разобравшись со всеми определениями. Также мы обсудим ряд аналогичных более простых утверждений про поверхности. Доклад можно считать неформальным введением к моей августовской статье arXiv:2308.07813

Для понимания доклада желательно знать, что такое поверхности и эйлерова характеристика, других специальных знаний использоваться не будет.

[16 сентября (суббота), 15:10, ауд. 302]. Сергей Александрович Дориченко, "О коровах, линейной алгебре и многомерных пространствах"

В некотором стаде 101 корова. Известно: любые 100 из них удастся разбить на две части по 50 коров так, что веса частей будут одинаковы. Как вы думаете, что надо доказать? Важно ли, какие веса у коров — целые, вещественные?

На примере этой олимпиадной задачи мы познакомимся с линейной алгеброй в миниатюре, дадим несколько решений задачи, в том числе с помощью кузнечика, прыгающего по многомерному кубу.

Если успеем, рассмотрим ещё одно приложение базовых понятий линейной алгебры — докажем, что стороны любого прямоугольника, разбитого на (неравные) квадраты, соизмеримы.

Приглашаются девятиклассники и старше, а также все желающие — кто не боится трудностей.

[8 сентября, 16:15, ауд. 302]. Пётр Кучерявый, "Замечательное свойство многих замечательных точек"

Я расскажу доклад по совместной неопубликованной работе с Андреем Уткиным по элементарной геометрии. Доклад про такую задачу.

Пусть $C_1,A_1,B_1$ и $C_2,A_2,B_2$ точки на сторонах $AB, BC, CA$ соответственно, $k$ фиксированное вещественное число и

$CA_1/CB = AB_1/AC = BC_1/BA = BA_2/BC = CB_2/CA = AC_2/AB = k.$

Пусть $X$ — замечательная точка (например, центр описанной окружности треугольника). Пусть $R = X(ABC)$, $M$ — точка пересечения медиан $ABC$, а $P$ — середина отрезка между $X(A_1B_1C_1)$ и $X(A_2B_2C_2)$.

Будем говорить, что замечательная точка $X$ обладает замечательным свойством, если $P$, $M$ и $R$ всегда лежат на одной прямой и отношение $MP/MR = f(k)$ фиксировано и зависит только от $k$ (не зависит от треугольника $ABC$).

Оказывается, что среди первых 100 замечательных точек в Энциклопедии центров треугольника этому свойству удовлетворяют 21 замечательная точка. Среди них центр описанной окружности, ортоцентр, точки Лемуана, Торричелли, Наполеона. Кроме того, для всех этих 21 точки функция $f(k)$ одна и та же (за исключением случая, когда $X$ — точка пересечения медиан, тогда $M = P = R$).

Удается классифицировать все замечательные точки, обладающие таким свойством. Оказывается, что существует счётный набор функций, которому может принадлежать $f(k)$ и для каждой такой функции есть своё пространство соответствующих замечательных точек. Кроме того, всегда $f(k)$ — рациональная по $k$ функция и выражается через многочлены Чебышева.

В докладе используются линейная алгебра, комплексные числа и ряды Фурье. Слушателям знакомым с этими понятиями будет проще, но все определения будут напомнены.

АРХИВ 2022-23

[26 мая, 16:15, ауд. 302]. Дмитрий Коган, Андрей Плосконосов, "Статистические парадоксы"

1. Парадокс Симпсона.

Вакцина уменьшает вероятность тяжёлого течения болезни среди пожилых в 5 раз, а среди молодых — в 3 раза. Однако вероятность тяжёлого течения болезни по всей популяции более чем в 2 раза выше у вакцинированных. Нет ли здесь противоречия?

2. Парадокс времени ожидания автобуса.

Автобус приезжает в среднем раз в 10 минут. Может ли среднее время ожидания автобуса быть 10 минут? 20 минут?

[19 мая, 16:15, ауд. 302]. Алекс Озйигит, Алексей Нестеров, Михаил Аверин, Никита Шиловский, "Квадратичный закон взаимности"

В этот раз мы поговорим о квадратичных вычетах. Они часто используются в задачах теории чисел, поэтому очень важно уметь быстро понять, является ли число вычетом или невычетом по данному модулю.

Как обычно, мы расскажем все необходимые начальные сведения, а потом докажем несколькими способами теорему, которая очень облегчает работу с квадратичными вычетами. В конце мы расскажем об обобщении символа Лежандра на составные модули (символ Якоби) и чуть-чуть посчитаем :)

[12 мая, 16:15, ауд.302]. Константин Щербаков, "Считаем симплициальные гомологии!!!"

Предположим, что у вас есть сложное пространство, склеенной из точек, отрезков, треугольников, тетраэдров и, возможно, аналогичных объектов высших размерностей — симплексов. Как, посмотрев на него, понять, например, гомеоморфно ли оно какому-то другому пространству (т.е. можно ли непрерывно продеформировать одно пространство в другое)?

Для ответов на такие вопросы обычно строят инварианты. Мы изучим один такой крайне содержательный инвариант: научимся по пространству строить целый набор из абелевых групп — групп гомологий.

Более того, оказывается, что по отображению пространств можно естественным образом построить отображение их групп гомологий, что позволяет перейти (впрочем, возможно, потеряв какую-то информацию) со сложного языка топологических пространств и отображений между ними на чисто алгебраический язык абелевых групп и отображений между ними.

[28 апреля, 16:15, ауд.302]. Арсений Песоцкий, Кирилл Конно, Егор Стрельченок, Михаил Акулов, Тимофей Котов, "Степенные ряды и теорема Кэли"

Слышали ли вы о производящих функциях и степенных рядах? Мы расскажем, как с ними работать, и где они используются.

Мы обсудим теорему Кэли с не очень сложной формулировкой:

Деревьев с $n$ пронумерованными вершинами ровно $n^{n-2}$ с точностью до изоморфизма.

Для ее доказательства мы будем пользоваться степенными рядами, производящими функциями, экспоненциальными производящими функциями.

Если успеем, то поговорим про доказательство теоремы Кэли без производящих функций.

[21 апреля, 16:15, ауд.302]. Александр Прокофьевич Романов, "Теорема Ван дер Вардена"

В двадцатые годы прошлого века внимание математиков привлекла задача с элементарной формулировкой:

Пусть множество целых чисел раскрашено в конечное число цветов. Тогда найдётся арифметическая прогрессия сколь угодно большой конечной длины, члены которой окрашены в один цвет.

После упорный усилий задачу удалось решить молодому голландскому математику Ван дер Вардену. Решение оказалось элементарным, но довольно сложным. Кроме самой теоремы рассмотрим её обобщения и близкие задачи.

[14 апреля, 16:15, ауд.302]. Ярослав Абрамов, "Узлы, косы и зацепления: распутываем запутанную математику"

Узел — замкнутая веревка в пространстве. Всякий ли узел можно распутать?

Коса — несколько незамкнутых нитей в пространстве. Всякую ли косу можно распутать?

Зацепление — несколько замкнутых веревок в пространстве. Всякое ли зацепление можно расцепить? Например, знаменитое зацепление "кольца Борромео".

На эти вопросы мы ответим и поставим слушателям новые.

Теория узлов, кос и зацеплений – бурно развивающаяся наука, в которой может проявить себя даже школьник. Будет много картинок и честных доказательств.

[7 апреля, 16:15, ауд.302]. Ирина Климанова, "Описательная сложность задач об изоморфизме графов"

Пусть $G$ — некоторый граф. Как можно формализовать свойство "содержать подграф, изоморфный графу $H$"? На самом деле, под "свойством" можно понимать некоторое множество графов, замкнутое относительно изоморфизма. У этого ограничения есть вполне естественный смысл, а именно, если один из изоморфных графов обладает каким-то свойством, другой тоже должен им обладать. Тогда, в частности, свойство "содержать подграф, изоморфный $H$" формализуется как "множество графов, которые содержат подграф, изоморфный $H$".

На лекции мы поймем, что такие свойства можно описывать некоторыми формулами. А именно, формулами языка первого порядка. Мы хотим, чтобы, формула была истинна на некотором графе тогда и только тогда, когда этот граф обладает рассматриваемым свойством. Одним из основных параметров формулы первого порядка является кванторная глубина формулы. Известно, что истинность формулы первого порядка глубины $k$ проверяется на $n$-вершинном графе за $O(n^k)$. В этой связи возникает естественный вопрос: какова наименьшая кванторная глубина формулы, записывающей свойство «содержать подграф, изоморфный графу $H$»? Об этом мы и поговорим на лекции.

Все необходимые понятия будут определены в процессе. Желательно знать, что такое граф, чтобы было проще понимать происходящее.

[31 марта, 16:15, ауд.302]. Фотиния Васильева, Лера Печникова, "Топология и рельеф местности"

Топология — в отличие от топографии — специально не занимается картами рельефа местности. Эта наука изучает наиболее глубокие свойства геометрических фигур, как как-то писал М.Гарднер: "Топологами принято называть математиков, которые не могут отличить кофейную чашку от бублика".

В нашем докладе мы попробуем объединить топологию и топографию, хоть и сказали что они не очень сочетаются. И докажем с помощью них одну из теорем Морса.

БУДЕТ ИНТЕРЕСНО !

[24 марта, 16:15, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Разложение многообразий на ручки"

многообразия — без сомнения, ключевой объект в современной математике, появляющийся буквально во всех областях, от алгебры и теории чисел до топологии и математической физики.

про многообразия можно думать как про геометрический объект, склеенный из (возможно, изогнутых) кусков евклидова пространства. одномерные многообразия — окружность и прямая; двумерные — сфера, тор, проективная плоскость... начиная с размерности 3 их представить себе уже довольно сложно, но всё же можно описать.

мы рассмотрим умеренный дифференциально-топологический подход к работе с многообразиями. это значит, что мы используем мощь геометрии и анализа в сочетании с гибкими топологическими приёмами. в итоге мы покажем, что многообразия разбиваются на ручки (для любителей кренделей — здесь ручки похожи не на торы, а скорее на прямоугольники).

с одной стороны, я постараюсь честно описать план доказательства приводимых фактов и лемм (сложных и вполне серьёзных). с другой стороны — будет сколько-то наглядных примеров.

мы узнаем, что такое функция Морса и чем разбиение на ручки удобнее триангуляций, а в конце, например, увидим простой способ доказать теорему о классификации поверхностей. так что уж что-нибудь да будет понятно.

кроме того, возможен чай с печеньем и сушками (и этого, в отличие от кучи страшных слов, не будет на видеозаписи)

[17 марта, 16:15, ауд.302]. Алексей Савватеев, "ПЕРВООБРАЗНЫЙ КОРЕНЬ ПО МОДУЛЮ ПРОСТОГО ЧИСЛА: ЧТО ЭТО ТАКОЕ, И ПОЧЕМУ ОН НЕПРЕМЕННО СУЩЕСТВУЕТ"

Остатки по модулю любого числа образуют то, что математики называют “кольцом”: их можно складывать, вычитать и делить по обычным правилам. При этом их всего конечное количество.

Самое же интересное, это системы остатков по модулю простого числа: их ещё и всегда можно делить (кроме как на ноль, но на ноль мы никогда не делим).

Ненулевые остатки по модулю простого числа всегда могут быть перечислены путём возведения в квадрат, куб, четвёртую и так далее степени одного из них; это — очень красивое и весьма нетривиальное утверждение.

Характерно, что указать на тот остаток, который таким образом породит все остальные, весьма непросто. Я расскажу одно из доказательств существования такого остатка, который называется первообразным корнем по модулю данного простого числа.

[10 марта, 16:15, ауд.302]. Андрей Михайлович Райгородский, "Вероятностные и алгебраические задачи в комбинаторике"

Я расскажу о нескольких классических и новых проблемах комбинаторики, решения которых находятся на стыке вероятностных и алгебраических методов.

Постараюсь, как обычно, подобрать такие постановки, которые будут внове для слушателей, но и не потребуют априорного знания ими сколь-нибудь сложных понятий из области вероятности или алгебры.

Главное же, чтобы не кокнуло:)

[3 марта, 16:15, ауд.302]. Богдан Бутырин, "Инверсия"

Инверсия — пожалуй, одна из самых интересных и необычных тем школьной геометрии, которая позволяет в некотором смысле "вывернуть наизнанку" разные факты и задачи.

На докладе обсудим основные свойства инверсии, как можно переводить прямые в окружности и окружности в прямые, как сохраняются углы между так называемыми обобщенными прямыми. Также порешаем несколько показательных задач, как же без этого!

Хочу отдельно отметить, что инверсия исключительно важна и полезна для участия в топовых олимпиадах.

Доклад рассчитан на рядового школьника, дополнительных знаний, выходящих за рамки школьной программы 8 класса, не требуется.

[18 февраля, ауд. 202]. МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЯ НА ДНЕ МАТЕМАТИКА. ОТДЕЛЕНИЕ 7–9 КЛАССОВ

13:00 – 13:55. Ю. И. Зайцева (ФКН ВШЭ), "Задачи теории кодирования"

Теория кодирования занимается задачами, связанными с хранением и передачей информации и возникающих в ней ошибками. Оказывается, что эти вопросы тесно связаны с алгеброй, комбинаторикой, линейной алгеброй, алгебраической геометрией и другими разделами математики.

Мы сформулируем ключевые вопросы теории, докажем несколько несложных утверждений и поговорим об интересных конструкциях, которые здесь возникают.

14:10-15:05. С. А. Дориченко (школа №179), "Несколько этюдов из комбинаторной геометрии"

Если на круглой сковороде помещаются 6 равных круглых котлет, то поместятся ли 7?

Если в куб помещаются три равных апельсина, то поместятся ли четыре?

Можно ли положить на белую плоскость много чёрных единичных квадратов так, чтобы получилась чёрная фигура со сколь угодно большим отношением периметра к площади?

[18 февраля, ауд. 205]. МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЯ НА ДНЕ МАТЕМАТИКА. ОТДЕЛЕНИЕ 9–11 КЛАССОВ

13:00 – 13:55. Д. А. Дагаев (ФЭН ВШЭ), "О коллективном выборе и манипулировании предпочтениями"

Мы обсудим, как группа людей может сделать общий выбор одной из альтернатив в ситуации, когда у каждого есть свои предпочтения. Есть ли среди всех возможных способов сделать коллективный выбор достаточно хорошие?

В частности, нас будет волновать вопрос, все ли будут честно раскрывать свои настоящие предпочтения или у кого-то может возникнуть соблазн манипулировать ими, чтобы добиться лучшего результата в результате общественного выбора.

14:10-15:05. А. Л. Городенцев (ФМ ВШЭ), "Исчисление степенных рядов"

Степенной ряд — это (бесконечное) выражение вида $\sum_{k\ge0}a_kx^k$, то есть $a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots$, где $a_i$ — числа, а $x$ — переменная. Степенные ряды можно складывать, вычитать и умножать ровно так же, как многочлены (убедитесь в этом!). В отличие от многочленов, ряды довольно часто можно делить, например:

$\frac1{1-x}=1+x+x^2+\ldots,$

ибо $(1-x)(1+x+x^2+\ldots)=1$ (раскройте скобки!).

Кроме того, ряды бывает можно подставлять друг в друга, экспоненцировать, логарифмировать, дифференцировать и интегрировать. Единственное, чего мы не будем пытаться делать, — это подставлять вместо $x$ числа. (Это требует совершения бесконечного количества сложений-умножений, и надо долго договариваться о том, что под этим понимать. Пусть эти переговоры идут на занятиях по матанализу.) Скорее, мы будем воспринимать сами ряды как своего рода числа, и увидим, что работать с ними намного приятнее, чем с бесконечными десятичными дробями.

Я надеюсь, что при этом мы научимся решать линейные рекуррентные уравнения, раскладывать в ряд функции вроде $1/\sqrt[7]{1-x}$ и точно вычислять суммы вроде $1^{10}+2^{10}+\ldots+1000^{10}$, причём делать это не "доказывая по индукции" уже предъявленные кем-то ответы, а явно находя эти ответы прямым и естественным путём.

[18 февраля, ауд. 205]. МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЯ НА ДНЕ МАТЕМАТИКА. ДОКЛАД ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ГРУППЫ ШКОЛЬНИКОВ

15:20 – 16:00. Артём Барков, Глеб Бобков-Нойманн, Григорий Салангин (9КЛ), "Вполне упорядоченные множества. Ординалы"

Кажется, порядок — вещь совершенно естественная. Всегда можно поставить людей в колонну и посчитать. Оказывается, порядок можно формализировать и ввести для разных (всех ли?) бесконечных множеств.

Мы расскажем про частично и вполне упорядоченные множества, про линейный порядок, про ординалы, их арифметику. А в конце мы предложим аудитории несколько интересных задач по теме нашего доклада.

[10 февраля, 16:15, ауд.302]. Игорь Малышев, "Теорема Форда-Фалкерсона"

Пусть у нас есть система труб, по которым может идти вода. У каждой трубы есть верхнее ограничение на пропускной объём. Появляется любопытный вопрос: какое максимальное количество воды можно перегонять из одной точки системы в другую?

Мы введём ряд определений и докажем теорему из заголовка, а если успеем — выведем из неё ряд интересных следствий. Для понимания доклада достаточно базовых знаний в теории графов.

[27 января, 16:15, ауд.302]. Семён Григорьевич Слободник, "Теоремы Птолемея и Шаля"

Неравенство Птолемея о диагоналях вписанного четырёхугольника — одна из самых ярких теорем планиметрии, и я расскажу самое изящное с моей точки зрения её доказательство. Попутно мы, следуя Эрлангенской программе Ф.Клейна, вспомним про движения плоскости и теорему Шаля.

Эти мощные результаты не так часто встречаются в обычном школьном курсе, хотя и довольно часто помогают решать сложные планиметрические задачи. Например:

Пусть на плоскости даны два равных треугольника $ABC$ и $A'B'C'$, ориентированные противоположным образом. Тогда середины отрезков $AA'$, $BB'$ и $CC'$ лежат на одной прямой.

[20 января, 16:15, ауд.302]. Лёня Чертович, Артём Барков, Вася Рагулин, "Начала матанализа и теории функций"

Мы расскажем о последовательностях, пределах, суммах бесконечных рядов, компактности множеств, числе Лебега. Мы попытаемся показать связь между, казалось бы, такими непохожими понятиями и предложим публике несколько занимательных задач.

Несмотря на обширность темы, дополнительных знаний не требуется.

[14 января, 15:15, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Возвращение поризма Понселе"

Эта знаменитая теорема, о которой мы говорили прямо перед каникулами, утверждает следующее. Пусть на плоскости даны две кривые второго порядка — например, два эллипса, один внутри другого. Предположим, существует замкнутая $n$-звенная ломаная, вписанная в первый эллипс и касающаяся второго. Тогда любая ломаная, вписанная в первый эллипс и касающаяся второго, замыкается за $n$ шагов.

За более чем двухчасовой семинар 30 декабря мы разобрали аналитическое доказательство поризма Понселе (для окружностей, с возможным обобщением на эллипсы), а также, пользуясь обширной планиметрической оптикой, изучили геометрические места разных замечательных точек ломаной при $n=3$.

В этот раз мы разберём совершенно другое доказательство, использующее методы одной из самых популярных в последние десятилетия областей математики — комплексной алгебраической геометрии.

Набор приёмов, которые нам понадобятся, весьма обширен. Мы уверенно поселимся на проективной плоскости, будем строить конфигурационные пространства и использовать общие факты о системах алгебраических уравнений, нам понадобится эйлерова характеристика поверхностей, с которыми будут проделываться хитрые топологические преобразования, а в конце будет чай с печеньем.

Это доказательство интересно именно многообразием применяемых в нём современных методов. Впрочем, и само оно очень красивое и (при условии владения этими методами) довольно естественное.

Для понимания доклада желательно знать, что такое комплексные числа. Остальных слов из анонса достаточно просто не пугаться.

[30 декабря, 10:00, ауд.302]. Таисия Липатова, "Теорема Понселе"

Это один из самых красивых и загадочных фактов планиметрии. У теоремы поразительная и длинная история, она оказала большое влияние на развитие геометрии. Каждый год ученые находят все новые ее доказательства и обобщения, открывают неожиданные связи с различными областями математики. Мы ее докажем, разберём частные случаи и решим связанные с ней задачи.

[23 декабря, 16:15, ауд. 302]. Алекс Озйигит, Алексей Нестеров, Михаил Аверин, Никита Шиловский, "Простые и квадраты"

Каждый, кто сталкивался с теорией чисел, слышал о такой теореме, как «Великая теорема Ферма». Существуют и другие теоремы, названные в честь известного математика. Одна из них — рождественская теорема Ферма, также известная как теорема Ферма-Эйлера. Она гласит, что для любого простого числа $p = 4k +1$ существуют два целых числа $x$ и $y$ такие, что $x^2 + y^2 = p$.

Как и у любой красивой теоремы, у этого утверждения есть много разных доказательств. Мы обсудим 5 из них. Некоторые доказательства будут использовать только элементарные методы теории чисел, для других же нам придется использовать соображения из геометрической теории чисел, гауссовы целые числа или рассмотрение «особенного множества».

По ходу доклада будет доказано много интересных фактов из теории чисел, мы расскажем про комплексные числа и утверждения, связанные с делимостью в кольце гауссовых чисел.

Никаких предварительных знаний от слушателей не требуется. Доклад обещает быть понятным всем.

[16 декабря, 16:15, ауд. 302]. Тагир Мухаметшин, "$pqr$ метод"

Допустим, вам встретилось какое-то непонятное симметрическое неравенство от трёх переменных, и в голову не приходит никаких мыслей, как его доказать. На помощь может прийти технический метод, не требующий сложных идей. Об одном таком методе и пойдёт речь.

Данный метод вкючает в себя всего 3 несложных замены:
$p = a + b + c$
$q = ab + bc + ac$
$r = abc$
где $a,b,c$ — переменные неравенства.

На встрече вы узнаете:

Почему любой симметрический многочлен от трёх переменных выражается через $p, q, r$.
От чего зависят максимальные и минимальные значения $p, q, r$.
А также научитесь технично решать многие олимпиадные задачи, начинающиеся так: «Пусть $a, b, c$ — неотрицательные числа. Докажите, что...»

[9 декабря, 16:15, ауд. 302]. Михаил Акулов, Кирилл Конно, Тимофей Котов, Арсений Песоцкий и Егор Стрельчёнок, "Комбинаторика"

Все мы знаем последовательность чисел Фибоначчи: $1, 1, 2, 3, 5,\ldots$ Оказывается, что у неё кроме рекуррентной формулы $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$ есть и другая формула, зависящая только от $n$, в которой почему-то несколько раз используются корни из 5.

В первой части доклада мы обобщим этот результат найдя формулу под все последовательности вида

$a_n = a_{n-1}k_1 + a_{n-2}k_2 + \ldots +a_{n-m}k_m$.

Во второй части доклада мы поговорим о том, как взаимодействуют друг с другом три казалось бы необъединимые темы — комплексные числа, многочлены и комбинаторика, решив следующую задачу:

У скольких подмножеств множества $\{1, 2, 3, \ldots, 2000\}$ сумма элементов делится на 5?

[2 декабря, 16:15, ауд. 302]. Фёдор Дьяконов, "Движение точек и степени зависимости, проективные и не очень"

Мы обсудим (и докажем!) популярный метод решения задач по геометрии, который использует приятные свойства из аналитической геометрии, не спускаясь к примитивному счёту в координатах.

Узнаем на примерах, как свести многие задачи к нескольким хорошим частным случаям, а также опционально поговорим про проективную плоскость и то, с чем ее едят.

[25 ноября, 16:15, ауд. 302]. Женя Аксарина, "Инварианты Дена. Когда один многогранник можно, перемешав внутренности, перевести в другой?"

Мы начнём с плоского случая. Или теоремы со сложным названием (Бойяи-Валласа-Гервина) и простым содержанием. Она утверждает, что любой многоугольник можно разрезать на меньшие многоугольники и переместить их так, чтобы получить любой другой наперёд заданный многоугольник.

В пространстве все оказывается чуть сложнее. Решение уже абсолютно аналитическое, получается вводом всего лишь одной функции специального вида и изучением её свойств. Оказывается, во всём замешано число пи, даже для куба, совсем, казалось бы, непохожего на круг.

Перед лекцией можно повторить единственно что формулу площади треугольника, дополнительных знаний не нужно.

[18 ноября, 16:15, ауд. 302]. Андрей Овчинников, "Пробуем ускорить дерево отрезков, превращаем его в куст"

Многие из вас знакомы с алгоритмом дерева отрезков (оно позволяет выполнять ассоциативные операции на подотрезке массива за $O(\log_2n)$, где $n$ — количество элементов массива, а также допускает изменение элемента за аналогичную асимптотику). Большинство из вас, вероятно, писали его даже не задумываясь, а почему оно так устроено. Почему у каждой вершины по два потомка? И почему вообще их два?

Я довольно поздно задал себе этот вопрос. И за отсутствием достаточного количества материалов в интернете, я провёл собственное исследование и нашёл ответы.

Собственно, про исследование я и расскажу и постараюсь ответить на все ваши вопросы. Думаю, что будет интересно, так как результаты получились далеко не однозначные.

[11 ноября, 16:15, ауд. 302]. Илья Демидов, "Откуда пи в бесконечных формулах"

Существует замечательная функция под названием дзета функция Римана, которая определяется как следующая бесконечная сумма:

$\zeta(n)=\dfrac1{1^n}+\dfrac1{2^n}+\dfrac1{3^n}+\ldots$

Дзета функция обладает рядом интересных свойств и активно изучается в теории чисел (например, именно к ней относится пока открытая гипотеза Римана). Оказывается, если в качестве $n$ подставить 2, то удивительным образом значением функции равно $\pi^2/6$:

$\zeta(2)=\dfrac11+\dfrac14+\dfrac19+\dfrac1{16}+\ldots=\dfrac{\pi^2}6.$

Не менее удивительна формула Валлиса, значение бесконечного произведения в которой оказывается равным $\pi/2$:

$W=\dfrac21\cdot\dfrac23\cdot\dfrac43\cdot\dfrac45\cdot\dfrac65\cdot\dfrac67\cdot\ldots=\dfrac\pi2.$

О том, почему это так, откуда это пи берется в чистой арифметике, а также о паре красивых доказательств этих формул можно будет услышать 11.11 в 16:15 в 302

[28 октября, 16:15, ауд. 302]. Артём Барков, "Теорема о примитивном элементе"

Мы докажем, что для любого простого $p$ существует число, степени которого покрывают все остатки $\mod p$, кроме нуля. Эта теорема тесно связана с фактом, утверждающим что (над любым полем) многочлен степени $n$ имеет не более $n$ корней. Также, как можно заметить, для непростого $p$ аналогичный факт неверен, так что он является своего рода критерием простоты.

[28 октября, 16:40, ауд. 302]. Антон Порфирьев, "Квадратичные вычеты и закон взаимности"

Большинство школьников занимающихся математикой, знают что остатки по модулю чисел ведут себя похожим образом с числами, их можно всегда сложить, вычесть и умножить, а иногда даже делить, прям как и с обычными целыми числами. После изучения обыкновенных целых чисел, люди сразу начинают решать уравнения. Интересно посмотреть, как это делать действуя по модулю различных чисел. Однако линейные уравнения особой сложностью не отличаются, нужно просто научиться делить одно число на другое т.е. научиться решать уравнение $ax=b$, но с квадратными уравнениями всё гораздо интереснее, на этом семинаре мы постараемся узнать когда существует "квадратный корень" по модулю, т.е. решение $x^2=a$.

[21 октября, 16:15, ауд. 302]. Дмитрий Мухин, "Вероятность в геометрических задачах"

На семинаре мы обсудим задачи, связанные с геометрическими вероятностями. Попробуем немного разобраться в том, что это вообще такое и как не впасть в абсурд и безумие. Объекты изучения: точки на отрезке, на окружности, на плоскости и на сфере. Пример задачи: На окружности случайно выбраны четыре точки $A,B,C,D$. Какова вероятность того, что отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются?

[14 октября, 16:15, ауд. 302]. Андрей Рябичев, "Перечисление циклов в графах"

задача: сколько в данном графе существует циклов? чтобы упростить задачу, оказывается более удобным рассматривать не обязательно связные циклы. тогда ответом всегда является степень двойки — мы докажем это, и даже несколькими способами.

в процессе доказательства мы освоим некоторые естественно возникающие при этом методы линейной алгебры (над полем из двух элементов), а также понятие гомотопической эквивалентности (играющее ключевую роль в топологии) и группы гомологий (являющиеся мостом между алгеброй и топологией).

предварительных специальных знаний для понимания доклада не требуется, достаточно знать что такое цикл в графе. все остальные определения будут даны и подробно разобраны на лекции

[4 октября, 16:00, ауд.306]. Семён Григорьевич Слободник, "Построения одной линейкой"

Мы начнём с того, что вспомним свойства биссектрисы, а также теоремы Менелая и Чевы (причём мы разберём и докажем их нешкольные формулировки, где чевианы проходят не обязательно через точку внутри треугольника, а секущая не обязательно пересекает две стороны треугольника).

Затем мы поговорим про построения одной линейкой: через точку мы проведём касательную к окружности — это и есть основной результат лекции. Затем мы обсудим стереографическую проекцию сферы на плоскость и докажем, что центр окружности нельзя найти одной линейкой.

Кроме того, про всё это будут задачи.

[30 сентября, 16:15, ауд. 302]. Игорь Малышев, "Теорема Менгера о $k$-связных графах"

Граф называется k-связным, если после удаления из него любых $k-1$ вершины он остаётся связным. Теорема Менгера утверждает, что граф $k$-связен тогда и только тогда, когда между любыми двумя его вершинами существует $k$ попарно непересекающихся путей.

Этой теореме (как и всей теории графов) примерно сто лет. Однако, доказательство, которое мы обсудим, относительно ново и опирается на другой результат — теорему Гёринга, которую мы также разберём.

[23 сентября, 16:15, ауд. 302]. Тимофей Котов, "Точка или окружность Микеля для $n$ прямых"

Многие наверняка слышали про точку Микеля для 4 прямых, про которую мы тоже немного поговорим, но вот про её обобщение на большее количество прямых слышали скорее всего немногие. Для нечетного количества прямых это будет уже не точка Микеля, а окружность Микеля, а доказательство существования точки или окружности Микеля и есть основная цель доклада.

[16 сентября, 16:15, ауд. 302]. Андрей Рябичев, "Погружения многообразий"

Известно, что две гладкие кривые на плоскости можно продеформировать друг в друга без изломов если и только если их вектора скорости имеют одинаковое число оборотов. Процесс такой деформации по-умному называется "изотопией", и про них я уже рассказывал примерно полгода назад.

В пятницу я расскажу другой подход к доказательству этой теоремы, который можно обобщить с кривых на поверхности, и вообще на любую размерность. Интересующая нас техника позволяет кроме того, например, без изломов выворачивать сферу в трёхмерном пространстве (в процессе деформации, естественно, будут возникать самопересечения, но в каждый момент времени любой достаточно маленький кусочек сферы будет гладким и несамопересекающимся).

Для понимания доклада достаточно знать слово "отображение" и иметь интуитивные представления о непрерывности. Быть знакомым с содержанием предыдущих лекций на эту тему не требуется.

[9 сентября, 16:15, ауд. 302]. Семён Григорьевич Слободник, "Вполне упорядоченные множества. Введение"

Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если в нём любое подмножество имеет минимальный элемент. Например, вполне упорядоченность множества натуральных чисел равносильна принципу математической индукции. Рассмотрение произвольных вполне упорядоченных множеств становится мощным инструментом, некоторые примеры применения которого мы также обсудим.

Кроме того мы рассмотрим некоторые вопросы делимости, поговорим про арифметику, обсудим понятие идеала — и многое другое! Я буду ориентироваться на аудиторию, многие факты будут даваться в виде задач и мы будем обсуждать их решения.

это первая обзорная лекция из курса Семёна Григорьевича в рамках мат.специализации 9 математических классов, посвящённого трансфинитной индукции. последующие лекции будут проходить по другим дням (уже не в рамках кружочка).

АРХИВ 2021-22

[20 мая, 17:00, ауд. 302]. Игорь Малышев, "Вполне упорядоченные множества"

Многим людям не хватает одних лишь натуральных чисел: очень хотелось бы иметь 'бесконечное' натуральное число, потом следующее за ним, за ним ещё одно, и так далее... Мы попытаемся реализовать это в виде строгой теории, позволяющей делать операции над этими числами (такие как сложение, умножение и даже возведение в степень) и что-то про неё докажем.

Для понимания доклада нужно владеть понятиями 'множество' и 'отображение', никаких других специальных предварительных знаний не требуется.

[20 мая, 18:00, ауд. 302]. Андрей Рябичев, "Аксиома выбора"

Название этой аксиомы на слуху у любителей математики. А утверждает она, всего-навсего, что для любого семейства множеств можно выбрать из каждого по одному элементу.

В моих планах — обсудить несколько утверждений, которые можно вывести из аксиомы выбора, а без неё нельзя. Например, что для любых двух множеств одно из них можно вложить в другое. Или что на любом множестве существует полный порядок — определение которого будет дано в докладе Игоря.

[18 мая, 16:00, ауд. 201]. Никита Голубев, Артём Соколов, "Оседлай геометрию Лобачевского!"

Надоела геометрия на плоскости?
Хочешь, чтобы в треугольнике сумма углов была $179^\circ$? Или тебе просто нечего делать в среду вечером? Тогда приходи на БЕСПЛАТНЫЙ доклад о геометрии от Артёма Соколова и Никиты Голубева!

[13 мая, 15:50, ауд. 302]. Тимофей Котов, "Ладейные числа"

Все мы знаем много задач про расстановки на клетчатой доске набора ладей, не бьющих друг друга. Но что если рассмотреть не квадратную доску $8\times8$, а произвольный конечный набор клеток на бесконечной клетчатой плоскости?

Для каждой такой доски и для натурального $k$ мы рассмотрим количество способов расставить на доске $k$ ладей, называемое ладейным числом, и докажем несколько интересных свойств этих чисел.

[4 мая, 12:00, ауд. 302]. Андрей Рябичев, "Движения точек"

иногда при решении планиметрической задачи так и хочется — подвинуть некоторые точки, чтобы построение стало проще и красивее.

я расскажу про несколько общих методов движения точек и прямых, при помощи которых многие задачи действительно удаётся решить в полной общности.

[29 апреля, 15:50, ауд. 302]. Лера Печникова, Фотиния Васильева, "Топология поверхностей"

В эту пятницу состоится интересный доклад по топологии. Мы расскажем про разные топологические объекты и операции над ними. Также мы подробно разберёмся, что такое поверхности, как их можно получить и как их расклассифицировать.

Более точно, мы докажем что любая поверхность, склеенная из треугольников, гомеоморфна связной сумме нескольких торов с дырками. Для этого (помимо изучения понятия гомеоморфизма) нам понадобятся ленточные графы и разные операции с переклейками.

Никаких предварительных знаний не требуется: мы подробно объясним, что означают все эти страшные слова и приведём много примеров. Приходите!

[22 апреля, 15:50, ауд. 302]. Тася Фёдорова, Леонид Чертович, "Логика и аксиоматики"

Нередко в олимпиадах попадаются задачи на логику. В основном, они нам известны как задачи «про рыцарей и лжецов», но какие ещё есть виды задач на эту тему? Мы вам расскажем об интересных задачах и парадоксах, а также об аксиоматике в математической логике и её связи с компьютерами!

Для доклада не потребуются никакие специализированные знания на эту тему!

[15 апреля, 15:50, ауд.302]. Алексей Савватеев, "Волшебство Гауссовых чисел"

Как найти все полные кубы, на единицу бульшие полного квадрата? Как в ОДНУ строчку найти все пифагоровы тройки? Как доказать, что любое простое вида $4k+1$ есть сумма двух квадратов? И при чём тут задача Эрдёша о равных расстояниях?

ОТВЕТЫ НА ВСЕ ЭТИ ВОПРОСЫ ДАДУТ ГАУССОВЫ ЧИСЛА!

Мои любимые сюжеты высокошкольной математики будут изложены на уровне, который вполне под силам матшкольникам 8-11 классов. Приходите все, кто хочет как следует прокачать свои МОЗГИ!! Алексей Савватеев приглашает!

[9 апреля, ауд. 302]. МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЯ НА ДНЕ МАТЕМАТИКА. ОТДЕЛЕНИЕ 7–9 КЛАССОВ

13:00–13:30. А. М. Райгородский (ФПМИ МФТИ), “Об одной задаче теории графов”

Я расскажу об одной олимпиадной задаче, которую я когда-то придумал, и о ее связи с большой наукой. ВНИМАНИЕ. Это не та задача, где у некоторого графа на плоскости оказывается не менее 7n ребер:)

13:45–14:15. А. Л. Городенцев (ФМ ВШЭ), “Перестановки и вычеты”

Н. Н. Константинов задал однажды на Турнире Городов такую задачу:

В городе N разрешаются лишь простые двусторонние обмены квартир — когда A въезжает в квартиру, принадлежавшую B, а B — в квартиру, принадлежавшую A. Все более сложные обмены — скажем, когда A въезжает в квартиру, принадлежавшую B, B — в квартиру, принадлежавшую C, а уже C — в квартиру, принадлежавшую A, запрещены. Более того, в течение одного дня каждому жителю разрешается сделать не более одного обмена квартирами. Можно ли осуществить любой, сколь угодно сложный обмен, за два дня?

Мы обсудим, как эта задача связана с отысканием остатка, который даёт число 2021(2022^2023) от деления на 179, а если позволит время, то и с тем, является ли 179 квадратом по модулю 57.

14:30–15:00. С. А. Комеч (ИППИ РАН), “Теория игр и справедливый делёж”

Будем справедливо делить торты, деньги, и т. д. Для этого докажем и применим лемму Шпернера о принцессе, гуляющей по комнатам замка. Что значит справедливо? — Никто не уйдет недовольным!

[9 апреля, ауд. 307]. МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЯ НА ДНЕ МАТЕМАТИКА. ОТДЕЛЕНИЕ 9–11 КЛАССОВ

13:00–13:30. А. П. Романов (школа 179), “Юбилей теоремы Райского”

50 лет назад в журнале «Математические заметки» была напечатана статья школьника Дмитрия Райского. Дмитрий доказал, что при раскраске плоскости в три цвета (разбиении на три непересекающиеся множества) всегда можно выбрать цвет, в котором реализуются все расстояния, то есть для любого положительного d найдутся две точки на расстоянии d, окрашенные в выбранный цвет.

Теорема Райского является заметным усилением доказанной в 1961 году братьями Мозерами теоремы о том, что при раскраске плоскости в три цвета найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1.

Я благодарен Н. Н. Константинову, который в 1971 году рассказал мне доказательство теоремы Райского. Константинов помогал Дмитрию в подготовке статьи и без его участия публикация вряд ли была бы возможна.

13:45–14:15. А. М. Райгородский (ФПМИ МФТИ), “Открытые проблемы комбинаторики”

Я расскажу про 2-3 проблемы, формулировки которых доступны
школьнику, но до решения которых еще далеко-далеко:)

14:30–15:00. К. С. Сорокин (ФКН ВШЭ), “Когнитом и Топологический анализ данных. Как математика может помочь нейробиологии?”

Одним из самых прогрессивных подходов в изучении структуры сознания в мозге в последнее время стало изучение когнитома. Он представляет собой набор функциональных гиперсетевых структур, состоящих из ансамблей нейронов, отвечающих тому или иному стимулу. Эти структуры могут пересекаться, поскольку у одного и того же нейрона может быть множество специализаций. К примеру, нейроны места в гиппокампе могут кодировать и не пространственные воспоминания.

В рамках своей мини-лекции, я расскажу, как мы, изучая нейроны места и нейроны поворота головы, применяли методы топологического анализа данных к активностям нейронов для извлечения топологии пространства, где находилось испытуемое животное. Также расскажу, как могут составляться графы из активностей нейронов и как марковские цепи помогают искать пространственные закономерности в когнитоме. Говоря о математическом аппарате, мы немного обсудим некоторые инварианты из топологии.

Для понимания лекции никаких предварительных знаний по нейробиологии и алгебраической топологии не требуется.

[8 апреля, 15:50, ауд.302]. Богдан Бутырин, "Изогональное сопряжение и педальные треугольники"

Изогональное сопряжение — один из частых гостей школьных математических олимпиад, поэтому для успешного решения геометрических задач действительно важно овладеть данной темой и уметь видеть эту конструкцию в задачах.

Я расскажу доказательство существования изогонально сопряженной точки, также обсудим факт о том, что педальные окружности изогонально сопряженных точек совпадают, а еще с помощью полученных знаний решим 4 задачу с относительно недавнего заключительного этапа Всероса!

Доклад рассчитан на рядового восьмиклассника, который научился перекидывать вписанные углы.

[1 апреля, 15:50, ауд.302]. Андрей Плосконосов, "Теория вероятностей и эволюционная биология"

Я хочу рассказать несколько биологических баек, где возникает прикольная математика. Начну с коротенького аксиоматического рассказа о том, как работает днк и половое размножение. А дальше мы разберёмся почему:
* Джон Холдейн готов отдать жизнь за двух братьев или 8 кузенов;
* муравьи, осы и пчёлы такие дружные;
* мальчиков и девочек (в природе) рождается примерно поровну и какие особенности жизни некоторых видов приводят к тому, что у них это не так;
* кто такая митохондриальная Ева и встречалась ли она с Y-хромосомным Адамом;
* как истребить популяцию комаров, генетически модифицировав нескольких из них;
* если успеем, кое-что ещё!

Доклад является рекламой проекта по математическому и численному моделированию эволюционных процессов. Подойдёт любителям теории вероятностей или кодения.

Ссылки:
Книжка "Эгоистичный ген" Ричарда Доккинза (большинство баек оттуда);
Самый интересный на мой взгляд рассказ про средство редактирования генома под названием CRISPR-Cas9;
Очень популярный рассказ про модификацию комаров (на английском с субтитрами);
Ещё вот сайт про эволюцию доверия в повторяющейся дилемме заключенного. Похоже по духу на то, что я собираюсь делать в проекте

[25 марта, 15:50, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Числа Рамсея"

Рассмотрим две задачи.

(a) Среди любых 51 из 10 000 000 португальцев имеется двое знакомых. Обязательно ли найдётся группа из 51 португальца, любые два из которых знакомы?

(b) Пусть любые два из 1000 ученых переписываются по одной из четырёх тем: географии, геологии, топографии и топологии. Обязательно ли найдётся 12 ученых, переписывающиеся друг с другом по одной и той же теме?

Обобщением этих задач является теорема Эрдеша, дающая оценку на так называемые числа Рамсея. С этим мы и рассчитываем разобраться. Возможно, в процессе нам понадобятся случайные графы, неравенство Маркова для матожидания, и много ещё чего интересного — а как ещё держать мозг в тонусе на протяжении солнечных каникул.

[18 марта, 15:50, ауд.302]. Григорий Зутлер, "Основная теорема арифметики в целых гауссовых числах"

Известно, что в обычных целых числах разложение на простые единственно. Основой доказательства этого факта является возможность деления с остатком и проведения алгоритма Евклида. Но в любой ли алгебраической структуре основная теорема арифметики верна?

Я расскажу про основную теорему арифметики в целых гауссовых числах (комплексных числах вида $a+bi$, где $a, b$ — целые), а также приведу пример другого множества, для которого основная теорема арифметики не выполнена.

В начале доклада мы разберёмся со всеми определениями, то есть, в частности, напомним, что такое комплексные числа и алгоритм Евклида.

[11 марта, 15:50, ауд.302]. Андрей Плосконосов, "Коды с исправлением ошибок для самых маленьких"

Я расскажу, как умение складывать остатки по основанию 2 помогает делать разные прикольные штуки. Например, летать в космос, болтать по телефону, хранить на серверах весь интернет или программировать на перфокартах.

Демо-задачка:

Есть два фильма по 1 гигабайту (т. е. две строки из ноликов и единичек) и три флешки по 1 гигабайту. Придумайте способ записать на флешки какую-то информацию так, чтобы при утере любой из них оба фильма можно было бы восстановить.

[4 марта, 15:50, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Теорема Димы Райского"

Простая задача: Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что найдутся три точки на расстоянии $1$, раскрашенные в один цвет.

Вот задача посложнее: Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что можно выбрать цвет, такой что для любого $d>0$ найдутся две точки на расстоянии $d$, раскрашенные в выбранный цвет.

Решение второй задачи, которая собственно и называется теоремой Д.Райского, я собираюсь рассказать.

[25 февраля, 15:50, ауд.302]. Миша Акулов, "Теорема Наполеона"

Теорема Наполеона утверждает, что центры правильных треугольников, построенных на сторонах произвольного треугольника, также образуют правильный треугольник.

Мы обсудим несколько способов доказательства этого факта. В процессе мы разберёмся с точкой Торричелли и поговорим о движениях плоскости. Знать это не обязательно, все будет на докладе.

Помимо теоремы Наполеона мы рассмотрим похожие на неё факты и теоремы (некоторые из которых даже докажем).

[16 февраля (среда), 15:50, ауд.201]. Миша Трошкин, "Проективная геометрия и геометрия коник"

Проективная геометрия изучает конфигурации прямых и кривых, заданных уравнениями, а также те их свойства, которые не меняются при проекциях и других проективных преобразованиях.

Мы обсудим
• как расширить евклидову плоскость до проективной и зачем это нужно;
• как ввести координаты на этой плоскости и писать в них уравнения;
• почему с точки зрения проективной геометрии эллипсы, параболы и гиперболы выглядят одинаково;
• что такое проективная двойственность и как она позволяет доказывать две теоремы за один раз.

[11 февраля, 15:50, ауд.302]. Артём Барков, "Рождественская теорема Ферма"

Данная теорема утверждает, что любое простое число, дающее остаток 1 при делении на 4, можно представить в виде суммы двух квадратов.

Мы рассмотрим несколько разных подходов к доказательству этой теоремы: как чисто алгебраический, использующий арифметику остатков и диофантовы уравнения, так и необычный геометрический подход, с разрезаниями клетчатых фигур и комбинаторным разбиением на пары.

Некоторые из вспомогательных утверждений, которые потребуются нам для доказательства, уже фигурировали ранее в докладе об основной теореме арифметики. Тем не менее, мы быстро вспомним, как они доказывались, поэтому доклад будет независимым от предыдущего и предварительные знания не потребуются.

[4 февраля, 15:50, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Разбиение квадрата на треугольники равной площади"

Задача: если квадрат разбит на треугольники равной площади, то их чётное число.

Я собираюсь рассказать абсолютно крышесносное решение этой задачи. Удивительным образом — решение, вместо классических приёмов планиметрии, использует совершенно жуткую и зубодробительную технику, в нём применяются самые неожиданные приёмы из разделов математики, никак не связанных на первый взгляд, поэтому вообще неясно, как такое можно было придумать.

Здесь вам: и алгебраические расширения полей, и p-адическое нормирование рациональных чисел, и теорема Гильберта о нулях, и лемма Шпернера (которая исторически служила для доказательства теоремы Брауэра, о которой Федя рассказывал нам две недели назад). Жуткие слова, каждое из которых скрывает свою удивительную историю. И мы к этому прикоснёмся.

Доклад будет скорее обзорным, никаких специальных знаний для понимания не требуется (и какие-нибудь шаги доказательства точно будут понятными, поскольку их много и они все разные). Желательно владеть математической индукцией; также неплохо (но не обязательно) уметь считать площадь треугольника, зная координаты его вершин.

[28 января, 15:50, ауд.302]. Тимофей Котов, "Производная"

Что такое производная и зачем её придумали? Как считать производные многочленов и других функций? Мы подробно ответим на эти вопросы с примерами и выведем несколько формул для счета производных.

Если останется время, я расскажу что такое интеграл и про формулу Ньютона-Лейбница, связывающую интеграл и производную.

Некоторые доказательства будут не максимально строгими, а чуть больше на интуитивном уровне, приходите и не бойтесь

[21 января, 15:50, ауд.302]. Фёдор Дьяконов, "Теорема Брауэра о неподвижной точке и замкнутые пути на окружности"

Теорема Брауэра гласит, что для каждого непрерывного отображения круга с границей в себя найдётся точка круга, которая останется на месте. Мы выясним, почему для её доказательства достаточно лишь узнать, какие кривые можно продеформировать друг в друга в круге, а какие — на его границе.

Идеологическое продолжение доклада про гладкие кривые, на котором мы решим классическую задачу и построим один из основополагающих топологических инвариантов — фундаментальную группу.

[14 января, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Гладкие кривые на плоскости и их изотопии"

Рассмотрим гладкую замкнутую кривую на плоскости. Гладкость означает, что у кривой нет «изломов» (или, более формально, что при движении по кривой у нас в каждый момент времени корректно определён вектор скорости, изменяющийся непрерывно).

Такую кривую можно деформировать, чтобы она всё время оставалась гладкой. При этом у кривой могут возникать самопересечения, но запрещены изломы (иначе она станет негладкой).

Поставим следующий вопрос: какие кривые можно продеформировать друг в друга указанным образом? Например, можно ли продеформировать обычную окружность в кривую-восьмёрку?

Чтобы получить отрицательный ответ на вопрос такого рода, как это обычно бывает, необходимо определить некоторый инвариант. Вообще инварианты, привлекаемые в топологических задачах, возникают довольно неожиданно и весьма эффектно — но этот, пожалуй, самый простой и изящный из них.

Мы поговорим о нём, а также о более технически сложной (конструктивной) задаче полной классификации кривых с точностью до деформации

[24 декабря 2021, ауд. 302]. КОНФЕРЕНЦИЯ ЛАЖИ

15:00. Тимофей Котов, "бесконечность$\ne$бесконечность"

В начале доклада я расскажу, что такое $e$ (число Эйлера). Затем мы разберём рассуждение, иллюстрирующее, насколько нужно быть аккуратными в обращении с пределами. Все необходимые определения будут даны на лекции, никаких предварительных знаний не требуется.

15:15. Ярослава Коробкова, "Задачи на разрезание"

Задачи на разрезание находятся на стыке «творческих» и «технических» задач. Мы разберём некоторые методы их решения, посмотрим интересные задачки и разберём парадокс площадей.

15:35. КОФЕБРЕЙК

15:45. Ярослава Больщикова, "Абракадабра"

Парадоксы о которых вы не слышали! Вы считаете мемы из ВК бесполезны, но нет! Я насобирала на целый доклад!

16:00. Ульяна Брик, Тася Фёдорова, "Удивительные противоречия в алгебре и геометрии"

Известно ли вам, что $4=5$? А что если $a>b>0$, то $a>2b$? Или что любой прямоугольный треугольник равносторонний? Мы разберём некоторые рассуждения, приводящие к противоречиям, и найдём ошибки в них.

Организатор конференции — Глеб Бобков-Нойманн

[17 декабря, 15:00, ауд.302]. Егор Стрельчёнок, "Неравенства о средних"

Пусть даны $n$ положительных чисел. Тогда известны неравенства между их средним квадратичным, средним арифметическим, средним геометрическим и среднем гармоническим. Мы разберёмся, что это за средние и как доказывать эти неравенства, а также попробуем применить эти неравенства в нескольких задачах.

[17 декабря, 15:45, ауд.302]. Ярослава Больщикова, "Окружность 9 точек"

Я расскажу об окружности 9 точек и существовании ее у любого треугольника. Еще будет прямая Эйлера и ее свойства.

[10 декабря, 15:00, ауд.302]. Катя Столяренко, "Теория игр у Нобелевских лауреатов"

Можно ли получить Нобелевскую премию за статью на одну страницу, да ещё и человеку с шизофренией? Можно. А за изобретение нового формата аукциона? Тоже можно. Я расскажу про открытия двух великих людей, ставших известными в частности благодаря изучению теории игр. А также затрону теорию аукционов и разыграю шоколадку (если не забуду её купить).

[3 декабря, 15:00, ауд.302]. Лера Печникова, Фотиния Васильева, "Узлы"

Мы расскажем про то, что такое узлы в топологии, что такое движение Рейдемейстера и как считать полином Конвея.

[26 ноября, 15:00, ауд.302]. Ярослав Рыжков, "Основы логики. Парадокс Рассела"

Логика берёт своё начало в философии древней Греции. Я начну с того, что расскажу про апории Зенона и софизмы. Затем мы обсудим законы логики и научимся выявлять логические ошибки. Наконец, мы разберём довольно современный пример парадокса логики, придуманный Бертраном Расселом, и обсудим его житейские варианты.

[26 ноября, 15:45, ауд.302]. Никита Голубев, "Теорема Гёделя о неполноте"

Решая задачи по матану, где нужно доказать верное утверждение, вы когда-нибудь задумывались о том, есть ли у него вообще доказательство? В пятницу 26 ноября на своем докладе Никита Голубев ответит на вопрос, любое ли верное утверждение можно доказать.

[19 ноября, 15:00, ауд.302]. Ярослава Коробкова, "Основная теорема арифметики"

Все мы привыкли пользоваться Основной теоремой арифметики, гласящей, что любое натуральное число раскладывается на простые множители, причём единственным возможным образом.

И казалось бы, что она очевидна, но с ходу её доказать, не зная заранее доказательства, оказывается не так-то просто.

А вот её доказательством мы и займёмся.

[12 ноября, 15:00, ауд.302]. Глеб Бобков-Нойманн, "Парадокс невозможности демократии. Теорема Эрроу"

Почему нельзя выбрать оптимальный вариант из нескольких? Какая система выборов работает лучше всего? Почему идеальная демократия приводит к диктатуре?

На все эти отнюдь не простые вопросы мы попытаемся ответить с математической стороны и разобраться, что к чему в этой непростой теме.

Всё, что мы будем использовать, будет введено с нуля, дополнительных знаний не требуется

[29 октября, 15:00, в зуме]. Андрей Рябичев, "Стратификации алгебраических множеств — 2"

в прошлый раз мы разобрали довольно много примеров алгебраических множеств. в этот раз я попробую охарактеризовать их особенности в терминах уравнений, которыми алгебраическое множество задаётся.

для понимания доклада достаточно хорошего геометрического воображения и готовности к абстрактному. никаких специальных знаний не требуется (хотя ещё полезно знать слово производная)

[22 октября, 15:00, в зуме]. Тимофей Котов, "Сумма обратных квадратов"

Рассмотрим сумму обратных квадратов, или 1/1+1/4+1/9 и т. д. Чему она равна? Ответ: $\pi^2/6$. При чём тут $\pi$ и откуда квадрат? Как из череды непонятных фактов выводится красивая формула суммы обратных квадратов?

Если вы не ходили на кружочек 8 октября про тригонометрию и комплексные числа, вам вряд ли будет что-то понятно.

[15 октября, 15:00, в зуме]. Андрей Рябичев, "Стратификации алгебраических множеств"

рассмотрим подмножество плоскости или пространства, заданное системой многочленов. оно может быть "гладким" (например, гипербола $xy=1$ или эллипс $x^2+2y^2=1$), а может иметь "особенности" (например, пара прямых $ (x-y)(x+y)=0$). можно доказать, однако, что любое такое множество можно разбить на гладкие части, причём эти части примыкают друг к другу "достаточно хорошо".

я попробую разобрать несколько примеров и рассказать про элементы теории стратификаций. материал сложный и довольно абстрактный, но интересных и понятных примеров тоже достаточно много. вообще этот сюжет основан на технической лемме, в доказательстве которой я допустил ошибку в своей диссертации, именно поэтому он полностью занимает меня последние две недели.

этот доклад (и следующий, скорее всего) состоится в зуме.

[8 октября, 15:00, ауд.302]. Тимофей Котов, "Тригонометрия и комплексные числа"

Почему углы считают в градусах, и их именно 360? Кто такие синус, косинус, тангенс и котангенс, и как с ними работать?

Где взаимосвязь между тригонометрией и комплексными числами, и почему при взятии корня $n$-ной степени из комплексного числа получается $n$ значений?

[1 октября, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Группы и действия — 2"

в прошлый раз мы ввели понятие группы и рассмотрели несколько примеров групп, их внутреннего устройства и взаимодействия друг между другом.

в этот раз я планирую доказать ещё пару свойств групп, и затем определить, что такое действие группы на произвольном множестве, с использованием которого наконец решить задачи из предыдущего анонса.

для понимания доклада достаточно знать определение группы, хотя в начале я его быстро напомню.

[24 сентября, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Группы и действия"

сколькими способами 10 девушек могут встать в круг? сколько существует ожерелий из 17 красных и 9 чёрных бусин? сколькими способами можно раскрасить грани куба в белый, жёлтый и оранжевый цвета так, чтобы каждый цвет встречался два раза?

чтобы дать ответ на каждый из этих вопросов, удобно рассматривать действие некоторой группы на множестве расстановок/раскрасок. я расскажу, что это буквально означает и как этим пользоваться, попутно введя довольно интересный математический аппарат.

всё, что будет использовано, я введу с нуля. никаких предварительных знаний не требуется.

[17 сентября, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Суммы степеней"

я расскажу про разные способы придумать или доказать формулу для суммы $k$-х степеней чисел от $1$ до $n$. ещё мы поговорим про разные интересные закономерности, которые можно увидеть в этой формуле для разных $k$, и про их природу.

UPD перед докладом я вдохновился статьёй Г.Мерзона, хотя и не успел рассказать большей части её содержания. можете сами почитать

[10 сентября, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Четырёхмерный куб"

чтобы задать абстрактный тон семинара, я расскажу про такую на первый взгляд загадочную вещь, как четырёхмерный куб. мы научимся представлять его и нарисуем разные его развёртки и проекции.

также мы поговорим другой объект — четырёхмерный симплекс, — обобщающий понятие тетраэдра. кроме того можно, по мере оставшегося времени, обсудить то как устроены кубы и симплексы в больших размерностях: 5, 6 и т.д...

для понимания доклада никаких предварительных знаний не требуется. полезно — но не обязательно — заранее иметь представление о том, что такое "система координат" и/или "сумма векторов".

UPD желающим самостоятельно углубиться в эту тему могу порекомендовать вот эту статью в Кванте за 1986 год

old kruzhochek