Школа179: кружочек

https://server.179.ru/wiki     редакция: 28.11.2022 19:13:50
v2025b2/кружочек
наш "кружочек" это научный семинар, на котором выступают разные докладчики.

доклады делаются по всевозможным математическим темам. в 2021-22 учебном году доклады рассчитаны на аудиторию 9-классников, однако в качестве слушателей приглашаются все желающие (в том числе ученики других школ). подписывайтесь на наш телеграм-канал с обсуждениями https://t.me/kruzhochek179

вы тоже можете сделать доклад, для этого нужно связаться с руководителем семинара (Андрей Рябичев, ryabichev@179.ru, tg +79164326995). также вы можете присылать заявки, если хотите послушать про какой-то конкретный математический сюжет.

кружочек проходит очно по пятницам с 16:15 до 17:45 в аудитории 302. приходите!


\( \)

[2 декабря, 16:15, ауд. 302]. Фёдор Дьяконов, "Движение точек и степени зависимости, проективные и не очень"

Мы обсудим (и докажем!) популярный метод решения задач по геометрии, который использует приятные свойства из аналитической геометрии, не спускаясь к примитивному счёту в координатах.

Узнаем на примерах, как свести многие задачи к нескольким хорошим частным случаям, а также опционально поговорим про проективную плоскость и то, с чем ее едят.


[25 ноября, 16:15, ауд. 302]. Женя Аксарина, "Инварианты Дена. Когда один многогранник можно, перемешав внутренности, перевести в другой?"

Мы начнём с плоского случая. Или теоремы со сложным названием (Бойяи-Валласа-Гервина) и простым содержанием. Она утверждает, что любой многоугольник можно разрезать на меньшие многоугольники и переместить их так, чтобы получить любой другой наперёд заданный многоугольник.

В пространстве все оказывается чуть сложнее. Решение уже абсолютно аналитическое, получается вводом всего лишь одной функции специального вида и изучением её свойств. Оказывается, во всём замешано число пи, даже для куба, совсем, казалось бы, непохожего на круг.

Перед лекцией можно повторить единственно что формулу площади треугольника, дополнительных знаний не нужно.


[18 ноября, 16:15, ауд. 302]. Андрей Овчинников, "Пробуем ускорить дерево отрезков, превращаем его в куст"

Многие из вас знакомы с алгоритмом дерева отрезков (оно позволяет выполнять ассоциативные операции на подотрезке массива за \(O(\log_2n)\), где \(n\) — количество элементов массива, а также допускает изменение элемента за аналогичную асимптотику). Большинство из вас, вероятно, писали его даже не задумываясь, а почему оно так устроено. Почему у каждой вершины по два потомка? И почему вообще их два?

Я довольно поздно задал себе этот вопрос. И за отсутствием достаточного количества материалов в интернете, я провёл собственное исследование и нашёл ответы.

Собственно, про исследование я и расскажу и постараюсь ответить на все ваши вопросы. Думаю, что будет интересно, так как результаты получились далеко не однозначные.


[11 ноября, 16:15, ауд. 302]. Илья Демидов, "Откуда пи в бесконечных формулах"

Существует замечательная функция под названием дзета функция Римана, которая определяется как следующая бесконечная сумма:

\(\zeta(n)=\dfrac1{1^n}+\dfrac1{2^n}+\dfrac1{3^n}+\ldots\)

Дзета функция обладает рядом интересных свойств и активно изучается в теории чисел (например, именно к ней относится пока открытая гипотеза Римана). Оказывается, если в качестве \(n\) подставить 2, то удивительным образом значением функции равно \(\pi^2/6\):

\(\zeta(2)=\dfrac11+\dfrac14+\dfrac19+\dfrac1{16}+\ldots=\dfrac{\pi^2}6.\)

Не менее удивительна формула Валлиса, значение бесконечного произведения в которой оказывается равным \(\pi/2\):

\(W=\dfrac21\cdot\dfrac23\cdot\dfrac43\cdot\dfrac45\cdot\dfrac65\cdot\dfrac67\cdot\ldots=\dfrac\pi2.\)

О том, почему это так, откуда это пи берется в чистой арифметике, а также о паре красивых доказательств этих формул можно будет услышать 11.11 в 16:15 в 302


[28 октября, 16:15, ауд. 302]. Артём Барков, "Теорема о примитивном элементе"

Мы докажем, что для любого простого \(p\) существует число, степени которого покрывают все остатки \(\mod p\), кроме нуля. Эта теорема тесно связана с фактом, утверждающим что (над любым полем) многочлен степени \(n\) имеет не более \(n\) корней. Также, как можно заметить, для непростого \(p\) аналогичный факт неверен, так что он является своего рода критерием простоты.

[28 октября, 16:40, ауд. 302]. Антон Порфирьев, "Квадратичные вычеты и закон взаимности"

Большинство школьников занимающихся математикой, знают что остатки по модулю чисел ведут себя похожим образом с числами, их можно всегда сложить, вычесть и умножить, а иногда даже делить, прям как и с обычными целыми числами. После изучения обыкновенных целых чисел, люди сразу начинают решать уравнения. Интересно посмотреть, как это делать действуя по модулю различных чисел. Однако линейные уравнения особой сложностью не отличаются, нужно просто научиться делить одно число на другое т.е. научиться решать уравнение \(ax=b\), но с квадратными уравнениями всё гораздо интереснее, на этом семинаре мы постараемся узнать когда существует "квадратный корень" по модулю, т.е. решение \(x^2=a\).


[21 октября, 16:15, ауд. 302]. Дмитрий Мухин, "Вероятность в геометрических задачах"

На семинаре мы обсудим задачи, связанные с геометрическими вероятностями. Попробуем немного разобраться в том, что это вообще такое и как не впасть в абсурд и безумие. Объекты изучения: точки на отрезке, на окружности, на плоскости и на сфере. Пример задачи: На окружности случайно выбраны четыре точки \(A,B,C,D\). Какова вероятность того, что отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются?


[14 октября, 16:15, ауд. 302]. Андрей Рябичев, "Перечисление циклов в графах"

задача: сколько в данном графе существует циклов? чтобы упростить задачу, оказывается более удобным рассматривать не обязательно связные циклы. тогда ответом всегда является степень двойки — мы докажем это, и даже несколькими способами.

в процессе доказательства мы освоим некоторые естественно возникающие при этом методы линейной алгебры (над полем из двух элементов), а также понятие гомотопической эквивалентности (играющее ключевую роль в топологии) и группы гомологий (являющиеся мостом между алгеброй и топологией).

предварительных специальных знаний для понимания доклада не требуется, достаточно знать что такое цикл в графе. все остальные определения будут даны и подробно разобраны на лекции


[4 октября, 16:00, ауд.306]. Семён Григорьевич Слободник, "Построения одной линейкой"

Мы начнём с того, что вспомним свойства биссектрисы, а также теоремы Менелая и Чевы (причём мы разберём и докажем их нешкольные формулировки, где чевианы проходят не обязательно через точку внутри треугольника, а секущая не обязательно пересекает две стороны треугольника).

Затем мы поговорим про построения одной линейкой: через точку мы проведём касательную к окружности — это и есть основной результат лекции. Затем мы обсудим стереографическую проекцию сферы на плоскость и докажем, что центр окружности нельзя найти одной линейкой.

Кроме того, про всё это будут задачи.


[30 сентября, 16:15, ауд. 302]. Игорь Малышев, "Теорема Менгера о \(k\)-связных графах"

Граф называется k-связным, если после удаления из него любых \(k-1\) вершины он остаётся связным. Теорема Менгера утверждает, что граф \(k\)-связен тогда и только тогда, когда между любыми двумя его вершинами существует \(k\) попарно непересекающихся путей.

Этой теореме (как и всей теории графов) примерно сто лет. Однако, доказательство, которое мы обсудим, относительно ново и опирается на другой результат — теорему Гёринга, которую мы также разберём.


[23 сентября, 16:15, ауд. 302]. Тимофей Котов, "Точка или окружность Микеля для \(n\) прямых"

Многие наверняка слышали про точку Микеля для 4 прямых, про которую мы тоже немного поговорим, но вот про её обобщение на большее количество прямых слышали скорее всего немногие. Для нечетного количества прямых это будет уже не точка Микеля, а окружность Микеля, а доказательство существования точки или окружности Микеля и есть основная цель доклада.


[16 сентября, 16:15, ауд. 302]. Андрей Рябичев, "Погружения многообразий"

Известно, что две гладкие кривые на плоскости можно продеформировать друг в друга без изломов если и только если их вектора скорости имеют одинаковое число оборотов. Процесс такой деформации по-умному называется "изотопией", и про них я уже рассказывал примерно полгода назад.

В пятницу я расскажу другой подход к доказательству этой теоремы, который можно обобщить с кривых на поверхности, и вообще на любую размерность. Интересующая нас техника позволяет кроме того, например, без изломов выворачивать сферу в трёхмерном пространстве (в процессе деформации, естественно, будут возникать самопересечения, но в каждый момент времени любой достаточно маленький кусочек сферы будет гладким и несамопересекающимся).

Для понимания доклада достаточно знать слово "отображение" и иметь интуитивные представления о непрерывности. Быть знакомым с содержанием предыдущих лекций на эту тему не требуется.


[9 сентября, 16:15, ауд. 302]. Семён Григорьевич Слободник, "Вполне упорядоченные множества. Введение"

Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если в нём любое подмножество имеет минимальный элемент. Например, вполне упорядоченность множества натуральных чисел равносильна принципу математической индукции. Рассмотрение произвольных вполне упорядоченных множеств становится мощным инструментом, некоторые примеры применения которого мы также обсудим.

Кроме того мы рассмотрим некоторые вопросы делимости, поговорим про арифметику, обсудим понятие идеала — и многое другое! Я буду ориентироваться на аудиторию, многие факты будут даваться в виде задач и мы будем обсуждать их решения.

это первая обзорная лекция из курса Семёна Григорьевича в рамках мат.специализации 9 математических классов, посвящённого трансфинитной индукции. последующие лекции будут проходить по другим дням (уже не в рамках кружочка).

АРХИВ 2021-22

[20 мая, 17:00, ауд. 302]. Игорь Малышев, "Вполне упорядоченные множества"

Многим людям не хватает одних лишь натуральных чисел: очень хотелось бы иметь 'бесконечное' натуральное число, потом следующее за ним, за ним ещё одно, и так далее... Мы попытаемся реализовать это в виде строгой теории, позволяющей делать операции над этими числами (такие как сложение, умножение и даже возведение в степень) и что-то про неё докажем.

Для понимания доклада нужно владеть понятиями 'множество' и 'отображение', никаких других специальных предварительных знаний не требуется.


[20 мая, 18:00, ауд. 302]. Андрей Рябичев, "Аксиома выбора"

Название этой аксиомы на слуху у любителей математики. А утверждает она, всего-навсего, что для любого семейства множеств можно выбрать из каждого по одному элементу.

В моих планах — обсудить несколько утверждений, которые можно вывести из аксиомы выбора, а без неё нельзя. Например, что для любых двух множеств одно из них можно вложить в другое. Или что на любом множестве существует полный порядок — определение которого будет дано в докладе Игоря.


[18 мая, 16:00, ауд. 201]. Никита Голубев, Артём Соколов, "Оседлай геометрию Лобачевского!"

Надоела геометрия на плоскости?
Хочешь, чтобы в треугольнике сумма углов была \(179^\circ\)? Или тебе просто нечего делать в среду вечером? Тогда приходи на БЕСПЛАТНЫЙ доклад о геометрии от Артёма Соколова и Никиты Голубева!


[13 мая, 15:50, ауд. 302]. Тимофей Котов, "Ладейные числа"

Все мы знаем много задач про расстановки на клетчатой доске набора ладей, не бьющих друг друга. Но что если рассмотреть не квадратную доску \(8\times8\), а произвольный конечный набор клеток на бесконечной клетчатой плоскости?

Для каждой такой доски и для натурального \(k\) мы рассмотрим количество способов расставить на доске \(k\) ладей, называемое ладейным числом, и докажем несколько интересных свойств этих чисел.


[4 мая, 12:00, ауд. 302]. Андрей Рябичев, "Движения точек"

иногда при решении планиметрической задачи так и хочется — подвинуть некоторые точки, чтобы построение стало проще и красивее.

я расскажу про несколько общих методов движения точек и прямых, при помощи которых многие задачи действительно удаётся решить в полной общности.


[29 апреля, 15:50, ауд. 302]. Лера Печникова, Фотиния Васильева, "Топология поверхностей"

В эту пятницу состоится интересный доклад по топологии. Мы расскажем про разные топологические объекты и операции над ними. Также мы подробно разберёмся, что такое поверхности, как их можно получить и как их расклассифицировать.

Более точно, мы докажем что любая поверхность, склеенная из треугольников, гомеоморфна связной сумме нескольких торов с дырками. Для этого (помимо изучения понятия гомеоморфизма) нам понадобятся ленточные графы и разные операции с переклейками.

Никаких предварительных знаний не требуется: мы подробно объясним, что означают все эти страшные слова и приведём много примеров. Приходите!


[22 апреля, 15:50, ауд. 302]. Тася Фёдорова, Леонид Чертович, "Логика и аксиоматики"

Нередко в олимпиадах попадаются задачи на логику. В основном, они нам известны как задачи «про рыцарей и лжецов», но какие ещё есть виды задач на эту тему? Мы вам расскажем об интересных задачах и парадоксах, а также об аксиоматике в математической логике и её связи с компьютерами!

Для доклада не потребуются никакие специализированные знания на эту тему!


[15 апреля, 15:50, ауд.302]. Алексей Савватеев, "Волшебство Гауссовых чисел"

Как найти все полные кубы, на единицу бульшие полного квадрата? Как в ОДНУ строчку найти все пифагоровы тройки? Как доказать, что любое простое вида \(4k+1\) есть сумма двух квадратов? И при чём тут задача Эрдёша о равных расстояниях?

ОТВЕТЫ НА ВСЕ ЭТИ ВОПРОСЫ ДАДУТ ГАУССОВЫ ЧИСЛА!

Мои любимые сюжеты высокошкольной математики будут изложены на уровне, который вполне под силам матшкольникам 8-11 классов. Приходите все, кто хочет как следует прокачать свои МОЗГИ!! Алексей Савватеев приглашает!


[9 апреля, ауд. 302]. МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЯ НА ДНЕ МАТЕМАТИКА. ОТДЕЛЕНИЕ 7–9 КЛАССОВ

13:00–13:30. А. М. Райгородский (ФПМИ МФТИ), “Об одной задаче теории графов


Я расскажу об одной олимпиадной задаче, которую я когда-то придумал, и о ее связи с большой наукой. ВНИМАНИЕ. Это не та задача, где у некоторого графа на плоскости оказывается не менее 7n ребер:)

13:45–14:15. А. Л. Городенцев (ФМ ВШЭ), “Перестановки и вычеты

Н. Н. Константинов задал однажды на Турнире Городов такую задачу:

В городе N разрешаются лишь простые двусторонние обмены квартир — когда A въезжает в квартиру, принадлежавшую B, а B — в квартиру, принадлежавшую A. Все более сложные обмены — скажем, когда A въезжает в квартиру, принадлежавшую B, B — в квартиру, принадлежавшую C, а уже C — в квартиру, принадлежавшую A, запрещены. Более того, в течение одного дня каждому жителю разрешается сделать не более одного обмена квартирами. Можно ли осуществить любой, сколь угодно сложный обмен, за два дня?

Мы обсудим, как эта задача связана с отысканием остатка, который даёт число 2021(2022^2023) от деления на 179, а если позволит время, то и с тем, является ли 179 квадратом по модулю 57.

14:30–15:00. С. А. Комеч (ИППИ РАН), “Теория игр и справедливый делёж

Будем справедливо делить торты, деньги, и т. д. Для этого докажем и применим лемму Шпернера о принцессе, гуляющей по комнатам замка. Что значит справедливо? — Никто не уйдет недовольным!


[9 апреля, ауд. 307]. МИНИ-КОНФЕРЕНЦИЯ НА ДНЕ МАТЕМАТИКА. ОТДЕЛЕНИЕ 9–11 КЛАССОВ

13:00–13:30. А. П. Романов (школа 179), “Юбилей теоремы Райского

50 лет назад в журнале «Математические заметки» была напечатана статья школьника Дмитрия Райского. Дмитрий доказал, что при раскраске плоскости в три цвета (разбиении на три непересекающиеся множества) всегда можно выбрать цвет, в котором реализуются все расстояния, то есть для любого положительного d найдутся две точки на расстоянии d, окрашенные в выбранный цвет.

Теорема Райского является заметным усилением доказанной в 1961 году братьями Мозерами теоремы о том, что при раскраске плоскости в три цвета найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1.

Я благодарен Н. Н. Константинову, который в 1971 году рассказал мне доказательство теоремы Райского. Константинов помогал Дмитрию в подготовке статьи и без его участия публикация вряд ли была бы возможна.

13:45–14:15. А. М. Райгородский (ФПМИ МФТИ), “Открытые проблемы комбинаторики

Я расскажу про 2-3 проблемы, формулировки которых доступны
школьнику, но до решения которых еще далеко-далеко:)

14:30–15:00. К. С. Сорокин (ФКН ВШЭ), “Когнитом и Топологический анализ данных. Как математика может помочь нейробиологии?

Одним из самых прогрессивных подходов в изучении структуры сознания в мозге в последнее время стало изучение когнитома. Он представляет собой набор функциональных гиперсетевых структур, состоящих из ансамблей нейронов, отвечающих тому или иному стимулу. Эти структуры могут пересекаться, поскольку у одного и того же нейрона может быть множество специализаций. К примеру, нейроны места в гиппокампе могут кодировать и не пространственные воспоминания.

В рамках своей мини-лекции, я расскажу, как мы, изучая нейроны места и нейроны поворота головы, применяли методы топологического анализа данных к активностям нейронов для извлечения топологии пространства, где находилось испытуемое животное. Также расскажу, как могут составляться графы из активностей нейронов и как марковские цепи помогают искать пространственные закономерности в когнитоме. Говоря о математическом аппарате, мы немного обсудим некоторые инварианты из топологии.

Для понимания лекции никаких предварительных знаний по нейробиологии и алгебраической топологии не требуется.



[8 апреля, 15:50, ауд.302]. Богдан Бутырин, "Изогональное сопряжение и педальные треугольники"

Изогональное сопряжение — один из частых гостей школьных математических олимпиад, поэтому для успешного решения геометрических задач действительно важно овладеть данной темой и уметь видеть эту конструкцию в задачах.

Я расскажу доказательство существования изогонально сопряженной точки, также обсудим факт о том, что педальные окружности изогонально сопряженных точек совпадают, а еще с помощью полученных знаний решим 4 задачу с относительно недавнего заключительного этапа Всероса!

Доклад рассчитан на рядового восьмиклассника, который научился перекидывать вписанные углы.


[1 апреля, 15:50, ауд.302]. Андрей Плосконосов, "Теория вероятностей и эволюционная биология"

Я хочу рассказать несколько биологических баек, где возникает прикольная математика. Начну с коротенького аксиоматического рассказа о том, как работает днк и половое размножение. А дальше мы разберёмся почему:
* Джон Холдейн готов отдать жизнь за двух братьев или 8 кузенов;
* муравьи, осы и пчёлы такие дружные;
* мальчиков и девочек (в природе) рождается примерно поровну и какие особенности жизни некоторых видов приводят к тому, что у них это не так;
* кто такая митохондриальная Ева и встречалась ли она с Y-хромосомным Адамом;
* как истребить популяцию комаров, генетически модифицировав нескольких из них;
* если успеем, кое-что ещё!

Доклад является рекламой проекта по математическому и численному моделированию эволюционных процессов. Подойдёт любителям теории вероятностей или кодения.

Ссылки:
Книжка "Эгоистичный ген" Ричарда Доккинза (большинство баек оттуда);
Самый интересный на мой взгляд рассказ про средство редактирования генома под названием CRISPR-Cas9;
Очень популярный рассказ про модификацию комаров (на английском с субтитрами);
Ещё вот сайт про эволюцию доверия в повторяющейся дилемме заключенного. Похоже по духу на то, что я собираюсь делать в проекте

[25 марта, 15:50, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Числа Рамсея"

Рассмотрим две задачи.

(a) Среди любых 51 из 10 000 000 португальцев имеется двое знакомых. Обязательно ли найдётся группа из 51 португальца, любые два из которых знакомы?

(b) Пусть любые два из 1000 ученых переписываются по одной из четырёх тем: географии, геологии, топографии и топологии. Обязательно ли найдётся 12 ученых, переписывающиеся друг с другом по одной и той же теме?

Обобщением этих задач является теорема Эрдеша, дающая оценку на так называемые числа Рамсея. С этим мы и рассчитываем разобраться. Возможно, в процессе нам понадобятся случайные графы, неравенство Маркова для матожидания, и много ещё чего интересного — а как ещё держать мозг в тонусе на протяжении солнечных каникул.


[18 марта, 15:50, ауд.302]. Григорий Зутлер, "Основная теорема арифметики в целых гауссовых числах"

Известно, что в обычных целых числах разложение на простые единственно. Основой доказательства этого факта является возможность деления с остатком и проведения алгоритма Евклида. Но в любой ли алгебраической структуре основная теорема арифметики верна?

Я расскажу про основную теорему арифметики в целых гауссовых числах (комплексных числах вида \(a+bi\), где \(a, b\) — целые), а также приведу пример другого множества, для которого основная теорема арифметики не выполнена.

В начале доклада мы разберёмся со всеми определениями, то есть, в частности, напомним, что такое комплексные числа и алгоритм Евклида.


[11 марта, 15:50, ауд.302]. Андрей Плосконосов, "Коды с исправлением ошибок для самых маленьких"

Я расскажу, как умение складывать остатки по основанию 2 помогает делать разные прикольные штуки. Например, летать в космос, болтать по телефону, хранить на серверах весь интернет или программировать на перфокартах.

Демо-задачка:

Есть два фильма по 1 гигабайту (т. е. две строки из ноликов и единичек) и три флешки по 1 гигабайту. Придумайте способ записать на флешки какую-то информацию так, чтобы при утере любой из них оба фильма можно было бы восстановить.


[4 марта, 15:50, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Теорема Димы Райского"

Простая задача: Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что найдутся три точки на расстоянии \(1\), раскрашенные в один цвет.

Вот задача посложнее: Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что можно выбрать цвет, такой что для любого \(d>0\) найдутся две точки на расстоянии \(d\), раскрашенные в выбранный цвет.

Решение второй задачи, которая собственно и называется теоремой Д.Райского, я собираюсь рассказать.


[25 февраля, 15:50, ауд.302]. Миша Акулов, "Теорема Наполеона"

Теорема Наполеона утверждает, что центры правильных треугольников, построенных на сторонах произвольного треугольника, также образуют правильный треугольник.

Мы обсудим несколько способов доказательства этого факта. В процессе мы разберёмся с точкой Торричелли и поговорим о движениях плоскости. Знать это не обязательно, все будет на докладе.

Помимо теоремы Наполеона мы рассмотрим похожие на неё факты и теоремы (некоторые из которых даже докажем).


[16 февраля (среда), 15:50, ауд.201]. Миша Трошкин, "Проективная геометрия и геометрия коник"

Проективная геометрия изучает конфигурации прямых и кривых, заданных уравнениями, а также те их свойства, которые не меняются при проекциях и других проективных преобразованиях.

Мы обсудим
• как расширить евклидову плоскость до проективной и зачем это нужно;
• как ввести координаты на этой плоскости и писать в них уравнения;
• почему с точки зрения проективной геометрии эллипсы, параболы и гиперболы выглядят одинаково;
• что такое проективная двойственность и как она позволяет доказывать две теоремы за один раз.

[11 февраля, 15:50, ауд.302]. Артём Барков, "Рождественская теорема Ферма"

Данная теорема утверждает, что любое простое число, дающее остаток 1 при делении на 4, можно представить в виде суммы двух квадратов.

Мы рассмотрим несколько разных подходов к доказательству этой теоремы: как чисто алгебраический, использующий арифметику остатков и диофантовы уравнения, так и необычный геометрический подход, с разрезаниями клетчатых фигур и комбинаторным разбиением на пары.

Некоторые из вспомогательных утверждений, которые потребуются нам для доказательства, уже фигурировали ранее в докладе об основной теореме арифметики. Тем не менее, мы быстро вспомним, как они доказывались, поэтому доклад будет независимым от предыдущего и предварительные знания не потребуются.


[4 февраля, 15:50, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Разбиение квадрата на треугольники равной площади"

Задача: если квадрат разбит на треугольники равной площади, то их чётное число.

Я собираюсь рассказать абсолютно крышесносное решение этой задачи. Удивительным образом — решение, вместо классических приёмов планиметрии, использует совершенно жуткую и зубодробительную технику, в нём применяются самые неожиданные приёмы из разделов математики, никак не связанных на первый взгляд, поэтому вообще неясно, как такое можно было придумать.

Здесь вам: и алгебраические расширения полей, и p-адическое нормирование рациональных чисел, и теорема Гильберта о нулях, и лемма Шпернера (которая исторически служила для доказательства теоремы Брауэра, о которой Федя рассказывал нам две недели назад). Жуткие слова, каждое из которых скрывает свою удивительную историю. И мы к этому прикоснёмся.

Доклад будет скорее обзорным, никаких специальных знаний для понимания не требуется (и какие-нибудь шаги доказательства точно будут понятными, поскольку их много и они все разные). Желательно владеть математической индукцией; также неплохо (но не обязательно) уметь считать площадь треугольника, зная координаты его вершин.


[28 января, 15:50, ауд.302]. Тимофей Котов, "Производная"

Что такое производная и зачем её придумали? Как считать производные многочленов и других функций? Мы подробно ответим на эти вопросы с примерами и выведем несколько формул для счета производных.

Если останется время, я расскажу что такое интеграл и про формулу Ньютона-Лейбница, связывающую интеграл и производную.

Некоторые доказательства будут не максимально строгими, а чуть больше на интуитивном уровне, приходите и не бойтесь


[21 января, 15:50, ауд.302]. Фёдор Дьяконов, "Теорема Брауэра о неподвижной точке и замкнутые пути на окружности"

Теорема Брауэра гласит, что для каждого непрерывного отображения круга с границей в себя найдётся точка круга, которая останется на месте. Мы выясним, почему для её доказательства достаточно лишь узнать, какие кривые можно продеформировать друг в друга в круге, а какие — на его границе.

Идеологическое продолжение доклада про гладкие кривые, на котором мы решим классическую задачу и построим один из основополагающих топологических инвариантов — фундаментальную группу.


[14 января, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Гладкие кривые на плоскости и их изотопии"

Рассмотрим гладкую замкнутую кривую на плоскости. Гладкость означает, что у кривой нет «изломов» (или, более формально, что при движении по кривой у нас в каждый момент времени корректно определён вектор скорости, изменяющийся непрерывно).

Такую кривую можно деформировать, чтобы она всё время оставалась гладкой. При этом у кривой могут возникать самопересечения, но запрещены изломы (иначе она станет негладкой).

Поставим следующий вопрос: какие кривые можно продеформировать друг в друга указанным образом? Например, можно ли продеформировать обычную окружность в кривую-восьмёрку?

Чтобы получить отрицательный ответ на вопрос такого рода, как это обычно бывает, необходимо определить некоторый инвариант. Вообще инварианты, привлекаемые в топологических задачах, возникают довольно неожиданно и весьма эффектно — но этот, пожалуй, самый простой и изящный из них.

Мы поговорим о нём, а также о более технически сложной (конструктивной) задаче полной классификации кривых с точностью до деформации


[24 декабря 2021, ауд. 302]. КОНФЕРЕНЦИЯ ЛАЖИ

15:00. Тимофей Котов, "бесконечность\(\ne\)бесконечность"

В начале доклада я расскажу, что такое \(e\) (число Эйлера). Затем мы разберём рассуждение, иллюстрирующее, насколько нужно быть аккуратными в обращении с пределами. Все необходимые определения будут даны на лекции, никаких предварительных знаний не требуется.

15:15. Ярослава Коробкова, "Задачи на разрезание"

Задачи на разрезание находятся на стыке «творческих» и «технических» задач. Мы разберём некоторые методы их решения, посмотрим интересные задачки и разберём парадокс площадей.

15:35. КОФЕБРЕЙК

15:45. Ярослава Больщикова, "Абракадабра"

Парадоксы о которых вы не слышали! Вы считаете мемы из ВК бесполезны, но нет! Я насобирала на целый доклад!

16:00. Ульяна Брик, Тася Фёдорова, "Удивительные противоречия в алгебре и геометрии"

Известно ли вам, что \(4=5\)? А что если \(a>b>0\), то \(a>2b\)? Или что любой прямоугольный треугольник равносторонний? Мы разберём некоторые рассуждения, приводящие к противоречиям, и найдём ошибки в них.

Организатор конференции — Глеб Бобков-Нойманн



[17 декабря, 15:00, ауд.302]. Егор Стрельчёнок, "Неравенства о средних"

Пусть даны \(n\) положительных чисел. Тогда известны неравенства между их средним квадратичным, средним арифметическим, средним геометрическим и среднем гармоническим. Мы разберёмся, что это за средние и как доказывать эти неравенства, а также попробуем применить эти неравенства в нескольких задачах.

[17 декабря, 15:45, ауд.302]. Ярослава Больщикова, "Окружность 9 точек"

Я расскажу об окружности 9 точек и существовании ее у любого треугольника. Еще будет прямая Эйлера и ее свойства.


[10 декабря, 15:00, ауд.302]. Катя Столяренко, "Теория игр у Нобелевских лауреатов"

Можно ли получить Нобелевскую премию за статью на одну страницу, да ещё и человеку с шизофренией? Можно. А за изобретение нового формата аукциона? Тоже можно. Я расскажу про открытия двух великих людей, ставших известными в частности благодаря изучению теории игр. А также затрону теорию аукционов и разыграю шоколадку (если не забуду её купить).


[3 декабря, 15:00, ауд.302]. Лера Печникова, Фотиния Васильева, "Узлы"

Мы расскажем про то, что такое узлы в топологии, что такое движение Рейдемейстера и как считать полином Конвея.


[26 ноября, 15:00, ауд.302]. Ярослав Рыжков, "Основы логики. Парадокс Рассела"

Логика берёт своё начало в философии древней Греции. Я начну с того, что расскажу про апории Зенона и софизмы. Затем мы обсудим законы логики и научимся выявлять логические ошибки. Наконец, мы разберём довольно современный пример парадокса логики, придуманный Бертраном Расселом, и обсудим его житейские варианты.

[26 ноября, 15:45, ауд.302]. Никита Голубев, "Теорема Гёделя о неполноте"

Решая задачи по матану, где нужно доказать верное утверждение, вы когда-нибудь задумывались о том, есть ли у него вообще доказательство? В пятницу 26 ноября на своем докладе Никита Голубев ответит на вопрос, любое ли верное утверждение можно доказать.


[19 ноября, 15:00, ауд.302]. Ярослава Коробкова, "Основная теорема арифметики"

Все мы привыкли пользоваться Основной теоремой арифметики, гласящей, что любое натуральное число раскладывается на простые множители, причём единственным возможным образом.

И казалось бы, что она очевидна, но с ходу её доказать, не зная заранее доказательства, оказывается не так-то просто.

А вот её доказательством мы и займёмся.


[12 ноября, 15:00, ауд.302]. Глеб Бобков-Нойманн, "Парадокс невозможности демократии. Теорема Эрроу"

Почему нельзя выбрать оптимальный вариант из нескольких? Какая система выборов работает лучше всего? Почему идеальная демократия приводит к диктатуре?

На все эти отнюдь не простые вопросы мы попытаемся ответить с математической стороны и разобраться, что к чему в этой непростой теме.

Всё, что мы будем использовать, будет введено с нуля, дополнительных знаний не требуется


[29 октября, 15:00, в зуме]. Андрей Рябичев, "Стратификации алгебраических множеств — 2"

рассмотрим подмножество плоскости или пространства, заданное системой многочленов. оно может быть "гладким" (например, гипербола \(xy=1\) или эллипс \(x^2+2y^2=1\)), а может иметь "особенности" (например, пара прямых \( (x-y)(x+y)=0\)).

в прошлый раз мы разобрали довольно много примеров алгебраических множеств. в этот раз я попробую охарактеризовать их особенности в терминах уравнений, которыми алгебраическое множество задаётся.

для понимания доклада достаточно хорошего геометрического воображения и готовности к абстрактному. никаких специальных знаний не требуется (хотя ещё полезно знать слово производная)


[22 октября, 15:00, в зуме]. Тимофей Котов, "Сумма обратных квадратов"

Рассмотрим сумму обратных квадратов, или 1/1+1/4+1/9 и т. д. Чему она равна? Ответ: \(\pi^2/6\). При чём тут \(\pi\) и откуда квадрат? Как из череды непонятных фактов выводится красивая формула суммы обратных квадратов?

Если вы не ходили на кружочек 8 октября про тригонометрию и комплексные числа, вам вряд ли будет что-то понятно.


[15 октября, 15:00, в зуме]. Андрей Рябичев, "Стратификации алгебраических множеств"

рассмотрим подмножество плоскости или пространства, заданное системой многочленов. оно может быть "гладким" (например, гипербола \(xy=1\) или эллипс \(x^2+2y^2=1\)), а может иметь "особенности" (например, пара прямых \( (x-y)(x+y)=0\)). можно доказать, однако, что любое такое множество можно разбить на гладкие части, причём эти части примыкают друг к другу "достаточно хорошо".

я попробую разобрать несколько примеров и рассказать про элементы теории стратификаций. материал сложный и довольно абстрактный, но интересных и понятных примеров тоже достаточно много. вообще этот сюжет основан на технической лемме, в доказательстве которой я допустил ошибку в своей диссертации, именно поэтому он полностью занимает меня последние две недели.

этот доклад (и следующий, скорее всего) состоится в зуме.


[8 октября, 15:00, ауд.302]. Тимофей Котов, "Тригонометрия и комплексные числа"

Почему углы считают в градусах, и их именно 360? Кто такие синус, косинус, тангенс и котангенс, и как с ними работать?

Где взаимосвязь между тригонометрией и комплексными числами, и почему при взятии корня \(n\)-ной степени из комплексного числа получается \(n\) значений?


[1 октября, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Группы и действия — 2"

в прошлый раз мы ввели понятие группы и рассмотрели несколько примеров групп, их внутреннего устройства и взаимодействия друг между другом.

в этот раз я планирую доказать ещё пару свойств групп, и затем определить, что такое действие группы на произвольном множестве, с использованием которого наконец решить задачи из предыдущего анонса.

для понимания доклада достаточно знать определение группы, хотя в начале я его быстро напомню.


[24 сентября, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Группы и действия"

сколькими способами 10 девушек могут встать в круг? сколько существует ожерелий из 17 красных и 9 чёрных бусин? сколькими способами можно раскрасить грани куба в белый, жёлтый и оранжевый цвета так, чтобы каждый цвет встречался два раза?

чтобы дать ответ на каждый из этих вопросов, удобно рассматривать действие некоторой группы на множестве расстановок/раскрасок. я расскажу, что это буквально означает и как этим пользоваться, попутно введя довольно интересный математический аппарат.

всё, что будет использовано, я введу с нуля. никаких предварительных знаний не требуется.


[17 сентября, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Суммы степеней"

я расскажу про разные способы придумать или доказать формулу для суммы \(k\)-х степеней чисел от \(1\) до \(n\). ещё мы поговорим про разные интересные закономерности, которые можно увидеть в этой формуле для разных \(k\), и про их природу.

UPD перед докладом я вдохновился статьёй Г.Мерзона, хотя и не успел рассказать большей части её содержания. можете сами почитать


[10 сентября, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Четырёхмерный куб"

чтобы задать абстрактный тон семинара, я расскажу про такую на первый взгляд загадочную вещь, как четырёхмерный куб. мы научимся представлять его и нарисуем разные его развёртки и проекции.

также мы поговорим другой объект — четырёхмерный симплекс, — обобщающий понятие тетраэдра. кроме того можно, по мере оставшегося времени, обсудить то как устроены кубы и симплексы в больших размерностях: 5, 6 и т.д...

для понимания доклада никаких предварительных знаний не требуется. полезно — но не обязательно — заранее иметь представление о том, что такое "система координат" и/или "сумма векторов".

UPD желающим самостоятельно углубиться в эту тему могу порекомендовать вот эту статью в Кванте за 1986 год