наш "кружочек" это научный семинар, на котором выступают разные докладчики.

доклады делаются по всевозможным математическим темам. в 2021-22 учебном году доклады рассчитаны на аудиторию 8-классников, однако в качестве слушателей приглашаются все желающие. подписывайтесь на наш телеграм-канал с обсуждениями https://t.me/kruzhochek179

вы тоже можете сделать доклад, для этого нужно связаться с руководителем семинара (Андрей Рябичев, ryabichev@179.ru, tg +79164326995). также вы можете присылать заявки, если хотите послушать про какой-то конкретный математический сюжет.

кружочек временно переместился в онлайн-формат. ссылка на зум будет размещаться втелеграм-канале за час до доклада.
кружочек снова проходит очно — по пятницам с 15:00 до 16:30 теперь с 15:50 до 17:20 в аудитории 302. приглашаются все желающие!

[2 марта, 15:50, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Теорема Димы Райского"

простая задача: плоскость раскрашена в три цвета. докажите, что найдутся три точки на расстоянии $1$, раскрашенные в один цвет.

вот задача посложнее: плоскость раскрашена в три цвета. докажите, что можно выбрать цвет, такой что для любого $d>0$ найдутся две точки на расстоянии $d$, раскрашенные в выбранный цвет.

решение второй задачи, которая собственно и называется теоремой Д.Райского, я собираюсь рассказать.

[25 февраля, 15:50, ауд.302]. Миша Акулов, "Теорема Наполеона"

Теорема Наполеона утверждает, что центры правильных треугольников, построенных на сторонах произвольного треугольника, также образуют правильный треугольник.

Мы обсудим несколько способов доказательства этого факта. В процессе мы разберёмся с точкой Торричелли и поговорим о движениях плоскости. Знать это не обязательно, все будет на докладе.

Помимо теоремы Наполеона мы рассмотрим похожие на неё факты и теоремы (некоторые из которых даже докажем).

[16 февраля (среда), 15:50, ауд.201]. Миша Трошкин, "Проективная геометрия и геометрия коник"

Проективная геометрия изучает конфигурации прямых и кривых, заданных уравнениями, а также те их свойства, которые не меняются при проекциях и других проективных преобразованиях.

Мы обсудим
• как расширить евклидову плоскость до проективной и зачем это нужно;
• как ввести координаты на этой плоскости и писать в них уравнения;
• почему с точки зрения проективной геометрии эллипсы, параболы и гиперболы выглядят одинаково;
• что такое проективная двойственность и как она позволяет доказывать две теоремы за один раз.

[11 февраля, 15:50, ауд.302]. Артём Барков, "Рождественская теорема Ферма"

Данная теорема утверждает, что любое простое число, дающее остаток 1 при делении на 4, можно представить в виде суммы двух квадратов.

Мы рассмотрим несколько разных подходов к доказательству этой теоремы: как чисто алгебраический, использующий арифметику остатков и диофантовы уравнения, так и необычный геометрический подход, с разрезаниями клетчатых фигур и комбинаторным разбиением на пары.

Некоторые из вспомогательных утверждений, которые потребуются нам для доказательства, уже фигурировали ранее в докладе об основной теореме арифметики. Тем не менее, мы быстро вспомним, как они доказывались, поэтому доклад будет независимым от предыдущего и предварительные знания не потребуются.

[4 февраля, 15:50, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Разбиение квадрата на треугольники равной площади"

Задача: если квадрат разбит на треугольники равной площади, то их чётное число.

Я собираюсь рассказать абсолютно крышесносное решение этой задачи. Удивительным образом — решение, вместо классических приёмов планиметрии, использует совершенно жуткую и зубодробительную технику, в нём применяются самые неожиданные приёмы из разделов математики, никак не связанных на первый взгляд, поэтому вообще неясно, как такое можно было придумать.

Здесь вам: и алгебраические расширения полей, и p-адическое нормирование рациональных чисел, и теорема Гильберта о нулях, и лемма Шпернера (которая исторически служила для доказательства теоремы Брауэра, о которой Федя рассказывал нам две недели назад). Жуткие слова, каждое из которых скрывает свою удивительную историю. И мы к этому прикоснёмся.

Доклад будет скорее обзорным, никаких специальных знаний для понимания не требуется (и какие-нибудь шаги доказательства точно будут понятными, поскольку их много и они все разные). Желательно владеть математической индукцией; также неплохо (но не обязательно) уметь считать площадь треугольника, зная координаты его вершин.

[28 января, 15:50, ауд.302]. Тимофей Котов, "Производная"

Что такое производная и зачем её придумали? Как считать производные многочленов и других функций? Мы подробно ответим на эти вопросы с примерами и выведем несколько формул для счета производных.

Если останется время, я расскажу что такое интеграл и про формулу Ньютона-Лейбница, связывающую интеграл и производную.

Некоторые доказательства будут не максимально строгими, а чуть больше на интуитивном уровне, приходите и не бойтесь

[21 января, 15:50, ауд.302]. Фёдор Дьяконов, "Теорема Брауэра о неподвижной точке и замкнутые пути на окружности"

Теорема Брауэра гласит, что для каждого непрерывного отображения круга с границей в себя найдётся точка круга, которая останется на месте. Мы выясним, почему для её доказательства достаточно лишь узнать, какие кривые можно продеформировать друг в друга в круге, а какие — на его границе.

Идеологическое продолжение доклада про гладкие кривые, на котором мы решим классическую задачу и построим один из основополагающих топологических инвариантов — фундаментальную группу.

[14 января, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Гладкие кривые на плоскости и их изотопии"

Рассмотрим гладкую замкнутую кривую на плоскости. Гладкость означает, что у кривой нет «изломов» (или, более формально, что при движении по кривой у нас в каждый момент времени корректно определён вектор скорости, изменяющийся непрерывно).

Такую кривую можно деформировать, чтобы она всё время оставалась гладкой. При этом у кривой могут возникать самопересечения, но запрещены изломы (иначе она станет негладкой).

Поставим следующий вопрос: какие кривые можно продеформировать друг в друга указанным образом? Например, можно ли продеформировать обычную окружность в кривую-восьмёрку?

Чтобы получить отрицательный ответ на вопрос такого рода, как это обычно бывает, необходимо определить некоторый инвариант. Вообще инварианты, привлекаемые в топологических задачах, возникают довольно неожиданно и весьма эффектно — но этот, пожалуй, самый простой и изящный из них.

Мы поговорим о нём, а также о более технически сложной (конструктивной) задаче полной классификации кривых с точностью до деформации

[24 декабря 2021, ауд. 302]. КОНФЕРЕНЦИЯ ЛАЖИ

15:00. Тимофей Котов, "бесконечность$\ne$бесконечность"

В начале доклада я расскажу, что такое $e$ (число Эйлера). Затем мы разберём рассуждение, иллюстрирующее, насколько нужно быть аккуратными в обращении с пределами. Все необходимые определения будут даны на лекции, никаких предварительных знаний не требуется.

15:15. Ярослава Коробкова, "Задачи на разрезание"

Задачи на разрезание находятся на стыке «творческих» и «технических» задач. Мы разберём некоторые методы их решения, посмотрим интересные задачки и разберём парадокс площадей.

15:35. КОФЕБРЕЙК

15:45. Ярослава Больщикова, "Абракадабра"

Парадоксы о которых вы не слышали! Вы считаете мемы из ВК бесполезны, но нет! Я насобирала на целый доклад!

16:00. Ульяна Брик, Тася Фёдорова, "Удивительные противоречия в алгебре и геометрии"

Известно ли вам, что $4=5$? А что если $a>b>0$, то $a>2b$? Или что любой прямоугольный треугольник равносторонний? Мы разберём некоторые рассуждения, приводящие к противоречиям, и найдём ошибки в них.

Организатор конференции — Глеб Бобков-Нойманн

[17 декабря, 15:00, ауд.302]. Егор Стрельчёнок, "Неравенства о средних"

Пусть даны $n$ положительных чисел. Тогда известны неравенства между их средним квадратичным, средним арифметическим, средним геометрическим и среднем гармоническим. Мы разберёмся, что это за средние и как доказывать эти неравенства, а также попробуем применить эти неравенства в нескольких задачах.

[17 декабря, 15:45, ауд.302]. Ярослава Больщикова, "Окружность 9 точек"

Я расскажу об окружности 9 точек и существовании ее у любого треугольника. Еще будет прямая Эйлера и ее свойства.

[10 декабря, 15:00, ауд.302]. Катя Столяренко, "Теория игр у Нобелевских лауреатов"

Можно ли получить Нобелевскую премию за статью на одну страницу, да ещё и человеку с шизофренией? Можно. А за изобретение нового формата аукциона? Тоже можно. Я расскажу про открытия двух великих людей, ставших известными в частности благодаря изучению теории игр. А также затрону теорию аукционов и разыграю шоколадку (если не забуду её купить).

[3 декабря, 15:00, ауд.302]. Лера Печникова, Фотиния Васильева, "Узлы"

Мы расскажем про то, что такое узлы в топологии, что такое движение Рейдемейстера и как считать полином Конвея.

[26 ноября, 15:00, ауд.302]. Ярослав Рыжков, "Основы логики. Парадокс Рассела"

Логика берёт своё начало в философии древней Греции. Я начну с того, что расскажу про апории Зенона и софизмы. Затем мы обсудим законы логики и научимся выявлять логические ошибки. Наконец, мы разберём довольно современный пример парадокса логики, придуманный Бертраном Расселом, и обсудим его житейские варианты.

[26 ноября, 15:45, ауд.302]. Никита Голубев, "Теорема Гёделя о неполноте"

Решая задачи по матану, где нужно доказать верное утверждение, вы когда-нибудь задумывались о том, есть ли у него вообще доказательство? В пятницу 26 ноября на своем докладе Никита Голубев ответит на вопрос, любое ли верное утверждение можно доказать.

[19 ноября, 15:00, ауд.302]. Ярослава Коробкова, "Основная теорема арифметики"

Все мы привыкли пользоваться Основной теоремой арифметики, гласящей, что любое натуральное число раскладывается на простые множители, причём единственным возможным образом.

И казалось бы, что она очевидна, но с ходу её доказать, не зная заранее доказательства, оказывается не так-то просто.

А вот её доказательством мы и займёмся.

[12 ноября, 15:00, ауд.302]. Глеб Бобков-Нойманн, "Парадокс невозможности демократии. Теорема Эрроу"

Почему нельзя выбрать оптимальный вариант из нескольких? Какая система выборов работает лучше всего? Почему идеальная демократия приводит к диктатуре?

На все эти отнюдь не простые вопросы мы попытаемся ответить с математической стороны и разобраться, что к чему в этой непростой теме.

Всё, что мы будем использовать, будет введено с нуля, дополнительных знаний не требуется

[29 октября, 15:00, в зуме]. Андрей Рябичев, "Стратификации алгебраических множеств — 2"

рассмотрим подмножество плоскости или пространства, заданное системой многочленов. оно может быть "гладким" (например, гипербола $xy=1$ или эллипс $x^2+2y^2=1$), а может иметь "особенности" (например, пара прямых $(x-y)(x+y)=0$).

в прошлый раз мы разобрали довольно много примеров алгебраических множеств. в этот раз я попробую охарактеризовать их особенности в терминах уравнений, которыми алгебраическое множество задаётся.

для понимания доклада достаточно хорошего геометрического воображения и готовности к абстрактному. никаких специальных знаний не требуется (хотя ещё полезно знать слово производная)

[22 октября, 15:00, в зуме]. Тимофей Котов, "Сумма обратных квадратов"

Рассмотрим сумму обратных квадратов, или 1/1+1/4+1/9 и т. д. Чему она равна? Ответ: $\pi^2/6$. При чём тут $\pi$ и откуда квадрат? Как из череды непонятных фактов выводится красивая формула суммы обратных квадратов?

Если вы не ходили на кружочек 8 октября про тригонометрию и комплексные числа, вам вряд ли будет что-то понятно.

[15 октября, 15:00, в зуме]. Андрей Рябичев, "Стратификации алгебраических множеств"

рассмотрим подмножество плоскости или пространства, заданное системой многочленов. оно может быть "гладким" (например, гипербола $xy=1$ или эллипс $x^2+2y^2=1$), а может иметь "особенности" (например, пара прямых $(x-y)(x+y)=0$). можно доказать, однако, что любое такое множество можно разбить на гладкие части, причём эти части примыкают друг к другу "достаточно хорошо".

я попробую разобрать несколько примеров и рассказать про элементы теории стратификаций. материал сложный и довольно абстрактный, но интересных и понятных примеров тоже достаточно много. вообще этот сюжет основан на технической лемме, в доказательстве которой я допустил ошибку в своей диссертации, именно поэтому он полностью занимает меня последние две недели.

этот доклад (и следующий, скорее всего) состоится в зуме.

[8 октября, 15:00, ауд.302]. Тимофей Котов, "Тригонометрия и комплексные числа"

Почему углы считают в градусах, и их именно 360? Кто такие синус, косинус, тангенс и котангенс, и как с ними работать?

Где взаимосвязь между тригонометрией и комплексными числами, и почему при взятии корня $n$-ной степени из комплексного числа получается $n$ значений?

[1 октября, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Группы и действия — 2"

в прошлый раз мы ввели понятие группы и рассмотрели несколько примеров групп, их внутреннего устройства и взаимодействия друг между другом.

в этот раз я планирую доказать ещё пару свойств групп, и затем определить, что такое действие группы на произвольном множестве, с использованием которого наконец решить задачи из предыдущего анонса.

для понимания доклада достаточно знать определение группы, хотя в начале я его быстро напомню.

[24 сентября, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Группы и действия"

сколькими способами 10 девушек могут встать в круг? сколько существует ожерелий из 17 красных и 9 чёрных бусин? сколькими способами можно раскрасить грани куба в белый, жёлтый и оранжевый цвета так, чтобы каждый цвет встречался два раза?

чтобы дать ответ на каждый из этих вопросов, удобно рассматривать действие некоторой группы на множестве расстановок/раскрасок. я расскажу, что это буквально означает и как этим пользоваться, попутно введя довольно интересный математический аппарат.

всё, что будет использовано, я введу с нуля. никаких предварительных знаний не требуется.

[17 сентября, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Суммы степеней"

я расскажу про разные способы придумать или доказать формулу для суммы $k$-х степеней чисел от $1$ до $n$. ещё мы поговорим про разные интересные закономерности, которые можно увидеть в этой формуле для разных $k$, и про их природу.

UPD перед докладом я вдохновился статьёй Г.Мерзона, хотя и не успел рассказать большей части её содержания. можете сами почитать

[10 сентября, 15:00, ауд.302]. Андрей Рябичев, "Четырёхмерный куб"

чтобы задать абстрактный тон семинара, я расскажу про такую на первый взгляд загадочную вещь, как четырёхмерный куб. мы научимся представлять его и нарисуем разные его развёртки и проекции.

также мы поговорим другой объект — четырёхмерный симплекс, — обобщающий понятие тетраэдра. кроме того можно, по мере оставшегося времени, обсудить то как устроены кубы и симплексы в больших размерностях: 5, 6 и т.д...

для понимания доклада никаких предварительных знаний не требуется. полезно — но не обязательно — заранее иметь представление о том, что такое "система координат" и/или "сумма векторов".

UPD желающим самостоятельно углубиться в эту тему могу порекомендовать вот эту статью в Кванте за 1986 год