Проекты по математике
Треугольные части в разбиении плоскости прямыми. Н. П. Стрелкова
Основная задача проекта (просьба не гуглить ответ):
Плоскость разбивается $n$ прямыми общего положения. Какое наименьшее число треугольных частей может быть при каждом n? Это сложная задача, решённая в 1979 году Грюнбаумом и Шеппардом, а потом Канелем элементарными методами.
Идея проекта в том, чтобы участники постепенно придумали решение этой задачи, а потом, возможно, разобрались в обобщениях и похожих задачах.
Лекций, чтения статей, интернет-исследований — не планируется. Планируются мозговые штурмы и обсуждение гипотез, сдача задач, задачи-подсказки, обсуждения разных методов, время от времени — промежуточные разборы.
Знания программы 9 классов должно быть достаточно. Будут комбинаторно-геометрические задачи — просто рисовать примеры, будет использоваться планиметрия (но не особо много), будут соображения непрерывности, комбинаторные техники (в смысле оценки числа комбинаций, принципа Дирихле, индукции и т.п.), а также поговорим про многомерные пространства, но заранее ничего про них знать не требуется.
На первой паре в понедельник все решают первый листок и сдают (друг другу, мне, ассистентам). Вот нулевой листок.
Дальше уже во вторник кто-то может начать рисовать картинки, оформлять решения для видео-презентации, а кто-то (многие) продолжают думать над задачами. Я выдаю следующий листок — и первые подсказки.
В среду встречаемся обязательно, наверное даже 2 раза — обсуждать математику (в рамках курса по выбору) и обсуждать план видосика и план работ по его созданию.
В четверг и пятницу — будет видно в каком режиме, но всё то же — добиваем математику и видосик.
А ещё в пятницу готовимся к защите, распределяем роли, обсуждаем, что рассказывать и в каком порядке, возможно готовим презентацию.
strelkova@179.ru, https://t.me/NataliyaStrelkova
Неевклидовы геометрии. Н. П. Стрелкова
Проект посвящён "другим" геометриям — пространствам, где расстояния измеряются не так, как на плоскости, где, возможно не действуют привычные нам аксиомы.
В этом проекте вы будете больше исследовать и меньше (по сравнению с другим моим проектом) решать задачи.
При этом можно будет исследовать как технически простые вещи (квартирная геометрия), так и технически сложные (геометрия на сфере и других поверхностях, галилеева геометрия) — в зависимости от предпочтений и навыков участников проекта.
При желании можно будет придумать свою геометрию =) Для начала можно взглянуть на мой доклад на кружочке мой доклад на кружочке. Можно будет заниматься любыми частями этого доклада или уйти в темы, не вошедшие в доклад.
Для знакомства с проектом посмотрите видео кружочка (достаточно первую половину, до многогранников). Как только вы скажете мне, что вам может быть интересен проект, я сделаю первый вводный листок и выложу сюда. А потом мы с вами обсудим — нужны ли будут ещё задачи, ещё статьи или книги для чтения, или вы сами придумаете себе задачи.
strelkova@179.ru, https://t.me/NataliyaStrelkova
Прорыв за неделю. Н. П. Стрелкова
Этот проект похож на проект Станислава Игоревича, но я решила написать отдельную аннотацию. Идея в том, что вы точно или примерно знаете, чему хотите срочно научиться или в чём хотите срочно разобраться.
Темой может быть математика, другой школьный предмет, наука, которая не проходится в школе (например, экономика) или что-то ещё более странное. Например, вы учитесь в 9 классе на тройки по алгебре и хотели бы совершить прорыв — погрузиться в алгебру, понять в чём проблема, отработать досканально, закрепить и т.д. Или, например, вы хотите за неделю придумать тактику на ЕГЭ — какие там задачи, какую из задач стоит отрабатывать, отработать её... Можно собрать команду, где один человек помогает остальным с геометрией, а другой остальным с английским.
План: вы приходите ко мне, рассказываете, какую цель вы мечтаете достичь (какой прорыв совершить). Мы с вами обсуждаем и вместе пытаемся понять, насколько разумно ставить именно эту цель, как её лучше сформулировать. И потом как её достичь в рамках нашей Зимней школы. В середине школы постараемся подключить психолога (если вы не будете против), (потому что для того, чтобы совершить ПРОРЫВ, крайне полезно быть в хорошей форме не только интеллектуально и физически, но и психологически. А у всех у нас свои тараканы и блоки...)
На докладе в конце школы надо будет поделиться опытом, рассказать в чём состояла работа, что получилось, ..."
strelkova@179.ru, https://t.me/NataliyaStrelkova
Построимость циркулем и линейкой. И. А. Эльман
Постараемся доказать невозможность решения трёх классических задач и, может быть, немного больше. Будем решать задачи по листочку, сдавать.
ielman@179.ru, https://t.me/iGorashx
Геометрия Лобачевского и ее применение в евклидовых задачах. И. А. Кухарчук
Геометрия Лобачевского — это причудливый и изящный мир, который полон как фактами справедливыми на привычной для нас евклидовой плоскости, так и совсем уникальными на первый взгляд противоречивыми утверждениями.
Мы изучим базовые утверждения геометрии Лобачевского и будем развивать наше представление о ней как о самостоятельной науке.
После чего, разработав необходимый инструментарий, слушателям будет предложено решение ряда задач, имеющих стандартную олимпиадно-школьную формулировку, но при правильном — неевклидовом — взгляде на них, решение будет становится очевидным!
Алгоритмы распознавания планарности графов. А. Д. Рябичев
Как многие вероятно догадываются, задача "планарен ли заданный граф" имеет алгоритмическое решение. Мы разберёмся, как именно её решать, и как ускорить алгоритм до полиномиального с использованием интересной техники, приходящей из алгебраической топологии. Она позволяет таким же образом решать некоторые многомерные обобщения задачи про графы, а другие, открытые до сих пор, не позволяет, и об этом мы тоже поговорим, если позволит время.
Участникам предлагается реализовать на компьютере алгоритм (или несколько разных алгоритмов) распознавания планарности графов, а также попробовать визуализировать результат.
ryabichev@179.ru
Маломерная топология. А. Д. Рябичев
Мы поговорим про узлы, поверхности Зейферта и ленточные графы, и на их примере посмотрим, какие объекты изучает топология и что с ними можно делать. Пример утверждения: любой узел в трёхмерном пространстве можно затянуть несамопересекающейся плёночкой. Для понимания курса требуется некоторое пространственное воображение, никаких предварительных знаний не требуется.
Участникам предлагается исследовать следующую задачу: стороны 2n-угольника случайным образом разбиты на пары и склеены без перекрутки. С какой вероятностью какая поверхность может быть получена? То же, если перекрутки разрешены.
ryabichev@179.ru
Арифметика ординалов и трансфинитная индукция. А. Д. Рябичев
Ординал — упорядоченное множество, в котором, грубо говоря, за каждым элементом идёт следующий. Более точно, у любого подмножества ординала должен быть минимальный элемент. Оказывается, это условие делает устройство ординалов очень "жёстким" и наделяет их массой полезных свойств. С другой стороны, часто в математике требуется доказать некоторое "бесконечное" утверждение, и в этом крайне полезна трансфинитная индукция — в которой именно ординалы служат на благо человечества. Обо всём этом мы и поговорим.
Как мы узнаем в курсе, ординалы можно складывать и умножать, и даже возводить в степень. Правда, сложение и умножение ординалов не коммутативны — тем интереснее разобраться, как они работают! Например, сколько корней может иметь квадратное уравнение? А линейное (и при каких условиях)? Участникам предлагается самостоятельно поставить вапросы такого сорта, и затем хорошенько поломать над ними голову.
ryabichev@179.ru
Учимся учить математике (в первую очередь, себя). С. И. Комаров и др.
Идея в том, что участники разбирают конкретную задачу и выстраивают её решение в виде подборки более простых задач, которая и станет результатом проекта. На защите нужно будет показать подборку задач, рассказать отдельные решение и объяснить выбор задач. Задачу участники смогут выбрать сами — и согласовать со Станиславом Игоревичем. Например, 11-классники могут выбрать какую-нибудь задачу или тему из ЕГЭ, тщательно её проработать и закрепить понимание путём составления и упорядочивания задач в итоговой подборке. Можно выбрать другие задачи школьной программы, а можно и что-то из фундаментальной (научной) или из олимпиадной математики.