это материалы по кружочку, который проходит по средам с 14:55 до 16:35.

25 октября 2017

мы продолжили резать ориентируемые поверхности по разным наборам кривых. а именно, мы доразобрались с тором и порезали поверхность рода 2.
затем мы занимались обратной процедурой: склеиванием сторон 2n-угольника (без перекрутки) в каком-либо порядке.
упражнение на каникулы.
а) Сколькими способами можно разбить на пары стороны правильного восьмиугольника?
б) Поверхность какого рода получается при склеивании парных сторон для каждого из способов?
у квадрата таких способов два (получаются сфера и тор), а у шестиугольника — четыре (получается сфера и три тора). что же получается для восьмиугольника мы узнаем за каникулы, либо после, а затем, возможно, наконец обсудим более сложные вопросы, например почему сфера и тор не гомеоморфны.

18 октября 2017

мы поговорили про ориентируемые поверхности и обсудили, что будет если разрезать тор по меридиану, параллели, по параллели и по меридиану, да и вообще по любой кривой, а затем принялись делать то же с поверхностью произвольного рода g.

4 октября 2017

мы определили действия групп, орбиты действия и стабилизаторы точек. примеров действия групп у нас пока не очень много, все они происходят из комбинаторных задач про раскраски. в конце была сформулирована формула Бёрнсайда, мы наметили путь её (возможного) доказательства через подсчёт двумя способами, а также попробовали применить для доказательства малой теоремы Ферма.
дома желающим предлагается изучить количество расстановок p ладей на торе pЧp и доказать с помощью него теорему Вильсона: (p-1)!-1 делится на p.

27 сентября 2017

мы рассмотрели группы перестановок, состоящие из всех преобразований фиксированного конечного множества, затем мы обобщили понятие группы преобразований и посмотрели на примерах, какими они бывают.

20 сентября 2017

мы поговорили про отображения между множествами и посмотрели на композиции отображений. выяснилось, что композиция отображений A → A ассоциативна, но не коммутативна, что для них существует нейтральный элемент, а обратные — только для некоторых. совокупность обратимых отображений называется группой (всех) преобразований A. изучением этого объекта мы и рассчитываем заняться в следующий раз.