это материалы по кружочку, который проходит по средам с 14:55 до 16:35.
====== 4 апреля 2018 ====== по причине существенно неполного состава слушателей, мы на время заморозили программу классификации пифагоровых троек и решили поговорить про эллипсы, а именно, про фокальное свойство и его возможные следствия. для разминки мы передоказали эквивалентность определений эллипса через фокусы и как нули уравнения \(ax^2+by^2=c\). после этого мы долго бились над пониманием, что же такое "угол падения" и "угол отражения". стало ясно, что для работы с гладкими кривыми нужно строгое определение касательной, которого у нас пока нет. тем не менее, мы понадеялись обойтись свойствами выпуклости, а также существованием касательной в каждой точке (в последнее пришлось поверить без доказательства). на этом, собственно, и было закончено обсуждение технических вопросов. путеводные задачи, которые мы будем пытаться атаковать, выглядят так: 1. к плоскости приклеили эллипс, выпиленный из фанеры, на него набросили замкнутую нить (длина которой больше длины эллипса), вставили в неё карандаш, натянули и провели вокруг. доказать, что полученная замкнутая кривая будет эллипсом, причём с теми же фокусами, что и у фанерного. 2. на плоскости нарисованы два эллипса с совпадающими фокусами. известно, что существует замкнутая \(k\)-звенная ломаная, которая вписана в больший эллипс и касается меньшего (каждым звеном). доказать, что любая \(k\)-звенная ломаная, вписанная в больший эллипс и касающаяся меньшего, будет замкнутой.
====== 21 марта 2018 ====== мы снова пытались расклассифицировать пифогоровы тройки, решив уравнение \(x^2+y^2=1\) в рациональных числах. повторив всё, что было в прошлый раз, мы поняли, что нам нужна инверсия с центром в точке \((0;1)\) и радиусом \(2\) -- она переводит единичную окружность в прямую \(y=-1\). записать такую инверсию явно в координатах мы, к сожалению, не успели, но надо это обязательно когда-нибудь проделать.
====== 14 марта 2018 ====== мы начали решать следующую задачу: найти все рациональные решения уравнения \(x^2+y^2=1\). сначала мы поняли, что поворот одного из решений на угол с рациональными косинусом и синусом, возможно, даёт другое решение, но это нельзя использовать для классификации //всех// решений. потом мы решили заняться инверсией и поняли, что вроде бы инверсия с рациональным центром и рациональным радиусом переводит рациональные точки в рациональные. это позволяет свести задачу об окружности к задаче о прямой. здесь-то видимо и скрывается решение исходной проблемы, о чём мы продолжим говорить в следующий раз.
====== 28 февряля 2018 ====== мы наконец доказали КОП критерий. более точно, было придумано два доказательство. первое, если усилить КОП-критерий, то его становится существенно проще доказывать. а именно, для множества //всех// вершин обеих ломаных удобно требовать, чтобы никакая точка не лежала на отрезке, соединяющем две другие, и никакие три отрезка, соединяющие шесть точек, не пересекались в одной точке. второе, для любой пары ломаных, удовлетворяющих КОП-критерию, существует такое число \(r>0\), что если подвинуть любую вершину одной из ломаных не более чем на \(r\), то они продолжат удовлетворять КОП-критерию. пользуясь этим, можно подвинуть точки поудобнее и всё доказать.
====== 31 января 2018 ====== мы попробуем доказать, что пара ломаных, удовлетворяющая КОП-критерию, имеет чётное число точек пересечения. это предполагается делать по пунктам (попробуйте дома): ** а)** для двух треугольников (разобрали 24 января); ** б)** для треугольника и четырёхзвенной ломаной; ** в)** для треугольника и \(n\)-звенной ломаной; ** г)** для \(m\)-звенной и \(n\)-звенной ломаных. возможно, КОП-критерий придётся усилить, чтобы такое пошаговое доказательство прошло без ошибок в мелких деталях -- либо придумать другое.
====== 24 января 2018 ====== пытаясь доказать алгоритм с прошлого занятия, мы натолкнулись на следующую задачу, которую начали атаковать: //при каких условиях на пару замкнутых ломаных число их точек пересечения чётно?// ответ (КОП-критерий): * у ломаных не совпадают вершины; * вершины одной не лежат на рёбрах другой; * рёбра одной не проходят через точк пересечения рёбер другой.
====== 17 января 2018 ====== мы пытались придумать алгоритм, выясняющий, лежит ли данная точка внутри данной несамопересекающейся ломаной, или снаружи. для этого мы прописали следующие функции: * по отрезку и прямой выяснить, пересекает ли прямая отрезок; * по отрезку и лучу выяснить, пересекает ли отрезок луч (входные данные -- координаты концов отрезка, конца луча и произвольной точки на луче).
====== 6 декабря 2017 ====== я попробую рассказать про стабильные особенности гладких отображений из поверхности в поверхность; это заведомо адово и не до конца понятно, поэтому тема продлится в течение лишь одного занятия -- не пропустите.
====== 29 ноября 2017 ====== мы нарисовали пучок коник \(a(x^2-1)+b(y^2-1)=0\) (где \( (a,b)\) -- любые пары вещественных чисел, отличные от \( (0,0)\)). получилось довольно красиво, но очень страшно, гиперболы там полезли, эллипсы..
====== 22 ноября 2017 ====== мы начали говорить про алгебраические уравнения от двух переменных и про кривые на плоскости, которые ими задаются. в частности, удалось доказать равносильность двух определений эллипса -- как множества точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов постоянна, и как окружности, растянутой по одному из направлений. ещё поговорили про приводимые кривые и выяснили, как нарисовать кривую \(F(x,y)G(x,y)=0\), зная кривые \(F(x,y)=0\) и \(G(x,y)=0\). **домашнее задание** **1.** попробуйте доказать, что отрезки, соединяющие точку на эллипсе с двумя фокусами, образуют равные углы с касательной в этой точке. **2.** даны окружности, заданные уравнениями \(x^2+y^2-9=0\) и \((x+1)^2+(y+2)^2-4=0\). попробуйте найти уравнение прямой, проходящей через их точки пересечения, //не находя// эти самые точки.
====== 15 ноября 2017 ====== мы попробуем определить эйлерову характеристику, доказать её инвариантность при гомеоморфизмах и вывести из этого, что поверхности разного рода не гомеоморфны.
====== 8 ноября 2017 ====== сегодня мы (частично) разобрали домашнее задание на каникулы, попутно обнаружив доселе не открытый пятый способ разбить стороны шестиугольника на пары (и дающий после склеивания сферу). в ходе разбора мы уверились, что никакого разумного способа перечислить такие разбиения нет, но каков род полученной после склеивания поверхности понять не особенно сложно.
====== 25 октября 2017====== мы продолжили резать ориентируемые поверхности по разным наборам кривых. а именно, мы доразобрались с тором и порезали поверхность рода 2. затем мы занимались обратной процедурой: склеиванием сторон 2//n//-угольника (без перекрутки) в каком-либо порядке. **упражнение на каникулы.** **а)** //Сколькими способами можно разбить на пары стороны правильного восьмиугольника?// **б)** //Поверхность какого рода получается при склеивании парных сторон для каждого из способов?// у квадрата таких способов два (получаются сфера и тор), а у шестиугольника -- четыре (получается сфера и три тора). что же получается для восьмиугольника мы узнаем за каникулы, либо после, а затем, возможно, наконец обсудим более сложные вопросы, например почему сфера и тор не гомеоморфны.
====== 18 октября 2017====== мы поговорили про ориентируемые поверхности и обсудили, что будет если разрезать тор по меридиану, параллели, по параллели и по меридиану, да и вообще по любой кривой, а затем принялись делать то же с поверхностью произвольного рода g.
====== 4 октября 2017====== мы определили действия групп, орбиты действия и стабилизаторы точек. примеров действия групп у нас пока не очень много, все они происходят из комбинаторных задач про раскраски. в конце была сформулирована формула Бёрнсайда, мы наметили путь её (возможного) доказательства через подсчёт двумя способами, а также попробовали применить для доказательства малой теоремы Ферма. дома желающим предлагается изучить количество расстановок \(p\) ладей на торе \(p\times p\) и доказать с помощью него теорему Вильсона: \((p-1)!-1\) делится на \(p\).
======27 сентября 2017====== мы рассмотрели группы перестановок, состоящие из всех преобразований фиксированного конечного множества, затем мы обобщили понятие группы преобразований и посмотрели на примерах, какими они бывают.
======20 сентября 2017====== мы поговорили про отображения между множествами и посмотрели на композиции отображений. выяснилось, что композиция отображений \(A \to A\) ассоциативна, но не коммутативна, что для них существует нейтральный элемент, а обратные -- только для некоторых. совокупность обратимых отображений называется //группой (всех) преобразований A//. изучением этого объекта мы и рассчитываем заняться в следующий раз.
---- адрес оригинала: ((/v2021b2/кружочек/кружочек-архив-17-18))