это материалы по кружочку, который проходит по средам с 14:55 до 16:35.

4 апреля 2018

по причине существенно неполного состава слушателей, мы на время заморозили программу классификации пифагоровых троек и решили поговорить про эллипсы, а именно, про фокальное свойство и его возможные следствия. для разминки мы передоказали эквивалентность определений эллипса через фокусы и как нули уравнения \(ax^2+by^2=c\). после этого мы долго бились над пониманием, что же такое "угол падения" и "угол отражения".
стало ясно, что для работы с гладкими кривыми нужно строгое определение касательной, которого у нас пока нет. тем не менее, мы понадеялись обойтись свойствами выпуклости, а также существованием касательной в каждой точке (в последнее пришлось поверить без доказательства). на этом, собственно, и было закончено обсуждение технических вопросов. путеводные задачи, которые мы будем пытаться атаковать, выглядят так:

1. к плоскости приклеили эллипс, выпиленный из фанеры, на него набросили замкнутую нить (длина которой больше длины эллипса), вставили в неё карандаш, натянули и провели вокруг. доказать, что полученная замкнутая кривая будет эллипсом, причём с теми же фокусами, что и у фанерного.
2. на плоскости нарисованы два эллипса с совпадающими фокусами. известно, что существует замкнутая \(k\)-звенная ломаная, которая вписана в больший эллипс и касается меньшего (каждым звеном). доказать, что любая \(k\)-звенная ломаная, вписанная в больший эллипс и касающаяся меньшего, будет замкнутой.

21 марта 2018

мы снова пытались расклассифицировать пифогоровы тройки, решив уравнение \(x^2+y^2=1\) в рациональных числах. повторив всё, что было в прошлый раз, мы поняли, что нам нужна инверсия с центром в точке \((0;1)\) и радиусом \(2\) — она переводит единичную окружность в прямую \(y=-1\). записать такую инверсию явно в координатах мы, к сожалению, не успели, но надо это обязательно когда-нибудь проделать.

14 марта 2018

мы начали решать следующую задачу: найти все рациональные решения уравнения \(x^2+y^2=1\).
сначала мы поняли, что поворот одного из решений на угол с рациональными косинусом и синусом, возможно, даёт другое решение, но это нельзя использовать для классификации всех решений.
потом мы решили заняться инверсией и поняли, что вроде бы инверсия с рациональным центром и рациональным радиусом переводит рациональные точки в рациональные. это позволяет свести задачу об окружности к задаче о прямой. здесь-то видимо и скрывается решение исходной проблемы, о чём мы продолжим говорить в следующий раз.

28 февряля 2018

мы наконец доказали КОП критерий. более точно, было придумано два доказательство.
первое, если усилить КОП-критерий, то его становится существенно проще доказывать. а именно, для множества всех вершин обеих ломаных удобно требовать, чтобы никакая точка не лежала на отрезке, соединяющем две другие, и никакие три отрезка, соединяющие шесть точек, не пересекались в одной точке.
второе, для любой пары ломаных, удовлетворяющих КОП-критерию, существует такое число \(r>0\), что если подвинуть любую вершину одной из ломаных не более чем на \(r\), то они продолжат удовлетворять КОП-критерию. пользуясь этим, можно подвинуть точки поудобнее и всё доказать.

31 января 2018

мы попробуем доказать, что пара ломаных, удовлетворяющая КОП-критерию, имеет чётное число точек пересечения. это предполагается делать по пунктам (попробуйте дома):
а) для двух треугольников (разобрали 24 января);
б) для треугольника и четырёхзвенной ломаной;
в) для треугольника и \(n\)-звенной ломаной;
г) для \(m\)-звенной и \(n\)-звенной ломаных.
возможно, КОП-критерий придётся усилить, чтобы такое пошаговое доказательство прошло без ошибок в мелких деталях — либо придумать другое.

24 января 2018

пытаясь доказать алгоритм с прошлого занятия, мы натолкнулись на следующую задачу, которую начали атаковать:
при каких условиях на пару замкнутых ломаных число их точек пересечения чётно?
ответ (КОП-критерий):

• у ломаных не совпадают вершины;
• вершины одной не лежат на рёбрах другой;
• рёбра одной не проходят через точк пересечения рёбер другой.

17 января 2018

мы пытались придумать алгоритм, выясняющий, лежит ли данная точка внутри данной несамопересекающейся ломаной, или снаружи.
для этого мы прописали следующие функции:

• по отрезку и прямой выяснить, пересекает ли прямая отрезок;
• по отрезку и лучу выяснить, пересекает ли отрезок луч

(входные данные — координаты концов отрезка, конца луча и произвольной точки на луче).

6 декабря 2017

я попробую рассказать про стабильные особенности гладких отображений из поверхности в поверхность; это заведомо адово и не до конца понятно, поэтому тема продлится в течение лишь одного занятия — не пропустите.

29 ноября 2017

мы нарисовали пучок коник \(a(x^2-1)+b(y^2-1)=0\) (где \( (a,b)\) — любые пары вещественных чисел, отличные от \( (0,0)\)). получилось довольно красиво, но очень страшно, гиперболы там полезли, эллипсы..

22 ноября 2017

мы начали говорить про алгебраические уравнения от двух переменных и про кривые на плоскости, которые ими задаются. в частности, удалось доказать равносильность двух определений эллипса — как множества точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов постоянна, и как окружности, растянутой по одному из направлений.
ещё поговорили про приводимые кривые и выяснили, как нарисовать кривую \(F(x,y)G(x,y)=0\), зная кривые \(F(x,y)=0\) и \(G(x,y)=0\).
домашнее задание
1. попробуйте доказать, что отрезки, соединяющие точку на эллипсе с двумя фокусами, образуют равные углы с касательной в этой точке.
2. даны окружности, заданные уравнениями \(x^2+y^2-9=0\) и \((x+1)^2+(y+2)^2-4=0\). попробуйте найти уравнение прямой, проходящей через их точки пересечения, не находя эти самые точки.

15 ноября 2017

мы попробуем определить эйлерову характеристику, доказать её инвариантность при гомеоморфизмах и вывести из этого, что поверхности разного рода не гомеоморфны.

8 ноября 2017

сегодня мы (частично) разобрали домашнее задание на каникулы, попутно обнаружив доселе не открытый пятый способ разбить стороны шестиугольника на пары (и дающий после склеивания сферу). в ходе разбора мы уверились, что никакого разумного способа перечислить такие разбиения нет, но каков род полученной после склеивания поверхности понять не особенно сложно.

25 октября 2017

мы продолжили резать ориентируемые поверхности по разным наборам кривых. а именно, мы доразобрались с тором и порезали поверхность рода 2.
затем мы занимались обратной процедурой: склеиванием сторон 2n-угольника (без перекрутки) в каком-либо порядке.
упражнение на каникулы.
а) Сколькими способами можно разбить на пары стороны правильного восьмиугольника?
б) Поверхность какого рода получается при склеивании парных сторон для каждого из способов?
у квадрата таких способов два (получаются сфера и тор), а у шестиугольника — четыре (получается сфера и три тора). что же получается для восьмиугольника мы узнаем за каникулы, либо после, а затем, возможно, наконец обсудим более сложные вопросы, например почему сфера и тор не гомеоморфны.

18 октября 2017

мы поговорили про ориентируемые поверхности и обсудили, что будет если разрезать тор по меридиану, параллели, по параллели и по меридиану, да и вообще по любой кривой, а затем принялись делать то же с поверхностью произвольного рода g.

4 октября 2017

мы определили действия групп, орбиты действия и стабилизаторы точек. примеров действия групп у нас пока не очень много, все они происходят из комбинаторных задач про раскраски. в конце была сформулирована формула Бёрнсайда, мы наметили путь её (возможного) доказательства через подсчёт двумя способами, а также попробовали применить для доказательства малой теоремы Ферма.
дома желающим предлагается изучить количество расстановок \(p\) ладей на торе \(p\times p\) и доказать с помощью него теорему Вильсона: \((p-1)!-1\) делится на \(p\).

27 сентября 2017

мы рассмотрели группы перестановок, состоящие из всех преобразований фиксированного конечного множества, затем мы обобщили понятие группы преобразований и посмотрели на примерах, какими они бывают.

20 сентября 2017

мы поговорили про отображения между множествами и посмотрели на композиции отображений. выяснилось, что композиция отображений \(A \to A\) ассоциативна, но не коммутативна, что для них существует нейтральный элемент, а обратные — только для некоторых. совокупность обратимых отображений называется группой (всех) преобразований A. изучением этого объекта мы и рассчитываем заняться в следующий раз.