Преподаватели: Станислав Игоревич Комаров, Александр Викторович Дубовицкий.

Спецкурс, на который мы вас приглашаем, посвящен введению в современную математику с упором на ее алгебраический аспект. На наших занятиях мы планируем не только знакомиться с современными разделами математики, но и решать конкретные, интересные вам задачи. В целом курс рассчитан на 2,5 года, в 9 классе будут рассмотрены разделы указанные ниже.

Описание

Физическая теория строится в предположении, что выбрано так называемое основное числовое поле, которое в большинстве случаев оказывается полем действительных чисел.

Физик-теоретик ежедневно имеет дело с такими математическими объектами как действительные векторные пространства, комплексные многообразия, гильбертовы пространства, эрмитовы операторы, которые оказываются осмысленными при условии, что мы рассматриваем действительные числа (или их расширение – комплексные числа). Выбор действительных чисел ни в коем случае не является единственным с точки зрения современной математики. Есть много других возможностей выбора «чисел»: рациональных, алгебраических, р-адических, конечных числовых полей и т.п. Когда выбор зафиксирован, математики исследуют различные конструкции, лежащих в основе соответствующих разделов математики, таких как линейная алгебра, гомологическая алгебра, теория Ли, алгебраическая геометрия и другие. К ним примыкают разделы, которые изучают конструкции, имеющие более далекие связи с «числами», например теория групп и топология.

Возникшие за последние 150-200 лет развития математики конструкции сначала были связаны с решением задач теории чисел, алгебры многочленов, а также задач элементарной геометрии. Как находить Пифагоровы тройки (целочисленные длины сторон прямоугольного треугольника), почему уравнение \(х^3+у^3=z^3\) и аналогичные уравнения для более высоких степеней не имеет решение в натуральных числах, почему нельзя при помощи циркуля и линейки разделить угол на три равные части, почему нет общей формулы (аналогичной формуле для корней квадратного уравнения) для нахождения корней уравнения пятой степени и выше, а для уравнений 3 и 4 степени такие корни есть? Оказалось, что возникшие конструкции помогают не только при ответе на эти вопросы или построении физических теорий, но и, например, в криптографии. С тем, как это происходит, вы сможете познакомиться на нашем спекурсе!

В целом наш курс – введение в современную алгебру, но при этом мы познакомимся и с общей топологией, а также с другими геометриями.

Как будет организована работа

Мы постараемся организовать нашу работу так, чтобы у вас была возможность с некоторыми темами познакомиться только на уровне начальных понятий, первых теорем и полезных задач, а некоторые темы, заинтересовавшие вас лично, выбрать для более глубокого изучения.

Правила отбора

Специального первоначального отбора на специализацию при не будет. Свои силы могут попробовать все желающие.

Программа

Алгебраическая теория чисел: Большая теорема Ферма для некоторых степеней; кольца вычетов, конечные поля, квадратичный закон взаимности, алгебраические числа, конечные расширения поля рациональных чисел.

Начала теория множеств: Теорема Кантора-Бернштейна. Лемма Цорна. Вполне упорядоченные множества.

Общая алгебра: координизация, поля, кольца, группы, гомоморфизмы, теоремы о гомоморфизмах, конечные группы, разрешимые группы.

Линейная алгебра: линейные пространства, линейные отображения, базис, ранг, определители, скалярное умножение, неравенство Коши-Буняковского.

Алгебраическая геометрия: рациональные и эллиптические кривые.

Геометрия: группы преобразований, свойства инверсии.

Топология: метрические пространства, теоретико-множественная и наглядная топология.