Парадокс Банаха-Тарского и теория групп. Даня Макаров

Разобьём шар на конечное число частей, из которых можно составить два таких же шара. Как вы поняли, это теоретико-множественный парадокс. Кроме теории множеств (из которой пригодится аксиома выбора) будет теория групп. Не пугайтесь, всё изучим. Будут группы движений (геометрия) и немного комбинаторных групп.

Кроме счётности множеств предварительные знания не нужны, но нужна готовность разбираться со сложными понятиями.

Кстати, можно из горошины сделать шар размером с 
Солнце, но не факт, что успеем.

Предварительный план по занятиям. Можем не успеть всё. План будет обновляться после каждого занятия (в зависимости от реального прогресса)

1. Знакомство с теоретико-множественной равносоставленностью, первые примеры множеств, которые равносоставлены чуть больше, чем себе. Свободная группа с двумя образующими.
2. Группы движений. Орбита и стабилизатор. Вложение свободной группы с двумя образующими в группу движений шара (пока без доказательства). Приближаемся к парадоксу Банаха-Тарского, если очень ускоримся, докажем его.
3. Завершение парадокса Банаха-Тарского. Если успеем, доказательство того, что свободную группу с двумя образующими можно вложить в группу движений шара, иными словами, что существуют два поворота. Если успеем, теорема Кантора-Бернштейна-Шрёдера для равносоставленности и равносоставленность горошины и Солнца.
4. Доказательства теоремы Шаля о классификации движений плоскости. Доказательство теоремы вращения Эйлера как аналога теоремы Шаля в сферической геометрии