Комбин

Порождение комбинаторных объектов


Решения задач на порождение комбинаторных объектов в своей основе имеют одну и ту же схему, которая предполагает ответ на следующие вопросы:


  1. Каков порядок порождения комбинаций? (иногда это оговорено в условии)
  2. Как получить первую комбинацию?
  3. Как, имея заданную комбинацию, получить следующую?
  4. Как проверить, является ли текущая комбинация последней?

Примечание: вопросы 2 и 4, как правило, решаются крайне легко


Сама же процедура порождения всех комбинаций обычно имеет следующий вид:


процедура получитьВсеКомбинации
| получитьПервуюКомбинацию
| вывести Комбинацию
| пока не текущаяКомбинацияПоследняя выполнять
| | получитьСледующуюКомбинацию
| | вывести Комбинацию
| конецЦикла
|конецПроцедуры


В задачах этого листка:


  • Использование вышеописанной процедуры и, таким образом, всех ее подпрограмм обязательно.
  • Рекурсия запрещена.
  • Для хранения комбинаций используется глобальный массив и соответствующие константы; данные с клавиатуры не вводятся.
  • Время выполнения процедуры получитьСледующуюКомбинацию, по умолчанию не более Cn.

Задачи


07_01a (0)
Напечатать все последовательности длины n из чисел 0.. k-1 в лексикографическом порядке


07_01b (1)
Напечатать все последовательности длины n из чисел 0.. k-1 в обратном лексикографическом порядке


07_01c (2)
Напечатать все последовательности длины n у которых i-ый член не превосходит i.


07_01d (4)
Напечатать все последовательности длины n из чисел 0.. k-1 так, чтобы соседние последовательности отличались бы только в одной позиции и только на единицу.


07_02 (3)
Напечатать все подмножества множества 1 .. k.


07_03a (4)
Напечатать все перестановки чисел 1 .. n, то есть последовательности длины n, в которые каждое из этих чисел входит по одному разу.


07_03x (3)
Написать функцию int nPermut(int *perm, int n), которая по заданному n и перестановке первых n чисел perm возвращает ее номер при лексикографическом перечислении.
пример 1: при n=5 и perm[] = {1, 2, 3, 4, 5} возвращается 1.
пример 2: при n=4 и perm[] = {1, 2, 4, 3} возвращается 2.
пример 3: при n=3 и perm[] = {3, 2, 1} возвращается 6.


07_03y (3)
Написать функцию int *permutByNum(int k, int n), обратную к функции из предыдущей задачи по заданному n и 
номеру k перестановки первых n чисел при лексикографическом перечислении возвращает указатель на массив с этой перестановкой.
пример 1: при n=5 и k= 1 permutByNum возвращается указатель на {1, 2, 3, 4, 5}.
пример 2: при n=4 и k= 2 permutByNum возвращается указатель на {1, 2, 4, 3}.
пример 3: при n=3 и k= 6 permutByNum возвращается указатель на {3, 2, 1}.


07_03b (5)
То же, что и в 07_03a но еще так, чтобы соседние последовательности получались бы друг из друга обменом лишь двух элементов.


07_04 (2)
Перечислить все возрастающие последовательности длины k из чисел 1 .. n в лексикографическом порядке.
пример: при n=5, k=2 получаем 12 13 14 15 23 24 25 34 35 45)


07_05a (4)
Перечислить все разбиения целого положительного числа n на целые положительные слагаемые (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются за одно). разбиения представляются как невозрастающие последовательности, порядок перечисления – лексикографический.
пример: для n = 4, разбиения 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1, 4.)


07_05b (4)
Представляя по-прежнему разбиения как невозрастающие последовательности, переписать их в порядке, обратном лексикографическому.
пример: для n = 4, должно быть 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1).


07_05c (4)
Представляя разбиения как неубывающие последовательности, перечислить их в лексикографическом порядке.
пример: для n = 4: 1+1+1+1, 1+1+2, 1+3, 2+2, 4;


07_06 (3)
Перечислить все вложения (т. е. функции, переводящие разные элементы в разные) множества {1..k} в {1..n}, где k не превышает n.


07_07 (4)
Перечислить все последовательности нулей и единиц длины 2n, содержащие n нулей и n единиц, такие, что в любом их начальном отрезке число единиц не превосходит числа нулей.


07_08 (4)
На окружности задано 2n пронумерованных точек Перечислить все способы провести nнепересекающихся хорд, с вершинами в этих точках.


07_09 (4)
Перечислить все способы разрезать выпуклый n–угольник на треугольники, проведя n–3 его диагонали.


07_10 (5)
Перечислить все способы расстановки скобок в произведении n сомножителей. Порядок сомножителей не меняется, скобки полностью определяют порядок действий.
пример: для n = 4 существует 5 расстановок:

  1. ((a...b)..c)..d
  2. .(a..(b...c)).d
  3. .(a...b).(c...d)
  4. ..a.((b...c)..d)
  5. ..a..(b..(c...d))