Фигуры называются гомеоморфными, если можно устроить такое взаимно-однозначное соответствие между фигурами, что не произойдёт разрывов, то есть близким точкам одной фигуры будут соответствовать близкие точки другой, и наоборот. С точки зрения топологии гомеоморфные фигуры неразличимы. То, что мы различаем трилистник и тривиальный узел, основано на том, что мы рассматриваем их расположенными в пространстве. Как фигуры сами по себе, они одинаковы.
На занятии обсуждалось, чем деформация отличается от гомеоморфизма. Вот есть такой наглядный пример: с точки зрения геометрии два треугольника равны, коль скоро их стороны равны. Но при этом не всегда их можно совместить движением плоскости:
Почему при этом не получается, что все фигуры будут одинаковы? Это интересный вопрос, на который не так просто ответить. Но мы, к примеру, умеем отвечать на него для сферы и тора, с помощью каркасных (характерных) графов. Ведь при гомеоморфизме вершина перейдёт в вершину, ребро – в ребро, а грань, которая гомеоморфная диску (именно таково настоящее определение характерного графа) – в такую же грань. Поэтому эйлерова характеристика гомеоморфных поверхностей одинакова. А у сферы и тора они не совпадают, значит сфера и тор негомеоморфны.