Большинство функций Maple для исcледований в области теории чисел содержатся в модуле numtheory.
Для его подключения необходимо дать команду with(numtheory): .
Функция floor(x) округляет число x вниз, ceil(x) округляет число вверх, функция
round(x) округляет x до ближайшего целого, функция trunc(x) возвращает floor(x)
для положительных x и -floor(-x) – для отрицательных. Функция frac(x) возвращает дробную часть числа x.
Для нахождения частного при целочисленном делении используется функция iquo, для вычисления остатка
от деления – функция irem. У этих функций два параметра: делимое и делитель. Примеры:
> iquo(100,3);
33
> irem(100,1);
1
Также можно выполнять действия в кольце вычетов по заданному модулю. Для этого используется оператор
mod у которого левый операнд – вычисляемое выражение, правый операнд – модуль, по которому
проводятся вычисления. Пример нахождения обратного элемента для числа 57 в кольце вычетов по модулю 179
и проверка правильности этого вычисления:
> 1/57 mod 179;
22
> irem(%*57,179);
1
Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел используется функция igcd, для нахождения наименьшего общего кратного –
функция ilcm. Пример:
> igcd(57,179);
1
Расширенный алгоритм Евклида используется для нахождения по данным n и m таких чисел
u и v, что un+vm=d, где d – наибольший общий делитель m и n.
Для этого используется функция igcdex(n,m,'u','v'), где m, n – исходные числа,
u и v – переменные, которым будут присвоено значение. Пример
> igcdex(57,179,'u','v');
1
> u; v;
22
-7
> 57*u+179*v;
1
Для проверки числа на простоту используется функция isprime, которая возвращает true,
если число простое и false – если составное. Для разложения числа на множители используются функции
ifactor и ifactors. Первая функция возвращает результат в виде произведения степеней простых
чисел, вторая – в виде списка простых чисел и их степеней. Все эти функции работают значительно эффективней
простого подбора делителей, проверка на простоту осуществляется быстрее полного разложения на множители.
Для построения простых чисел используются функции prevprime, nextprime, ithprime.
Функция prevprime(n) возвращает наибольшее простое число, которое меньше n,
функция nextprime(n) возвращает наименьшее простое число, которое больше n. Функция
ithprime(n) возвращает n-е простое число.
Для нахождения случайного простого числа следует использовать эти функции вместе с функцией rand(),
которая возвращает псевдослучайное 12-значное натуральное число. Для инициализации генератора псевдослучайных чисел
необходимо использовать функцию randomize().
> isprime(7!);
false
> ifactor(7!);
(2)4(3)2(5)(7)
;
> ifactors(7!);
[1, [[2, 4], [3, 2], [5, 1], [7, 1]]]
> nexprime(7!);
5051
> isprime(%);
true
> nextprime(rand());
427419669163
Функция divisors(n) возвращает список всех натуральных делителей данного целого числа.
Функия tau(n) (тау-функция) возвращает количество делителей числа n.
Функия sigma(n) (сигма-функция) возвращает сумму делителей делителей числа n.
Функция sigma[k](n) возвращает сумму k-х степеней делителей числа n.
Функция pi(n) (пи-функция) возвращает количество простых чисел,
не превосходящих n.
Функция phi(n) (фи-функция Эйлера) возвращает количество чисел,
меньших n и взаимно простых с n.
Для решения уравнений в целых числах используется функция isolve. Примеры:
> isolve(5*x+7*y=1);
x = -4-7_Z1, y = 3+5_Z1
В данном случае _Z1 обозначает произвольное целое число, поэтому общее решение имеет вид
x=-4-7n, y=3+5n.
Используем функцию isolve для решения уравнения Пелля x2-2y2=1.
Вывод Maple мы будем часто опускать ввиду его объемности (повторите вычисления самостоятельно!).
> Sol:=isolve(x^2-2*y^2=1):
Мы получим 4 серии решений, отличающихся только знаками. Положительные решения имеют вид x=1/2*(3+2*sqrt(2))n+1/2*(3-2*sqrt(2))n, y = sqrt(2)/4*((3+2*sqrt(2))n-(3-2*sqrt(2))n). Положим n=0 и вычислим решение:
> _Z1:=0: Sol;
{y = 0, x = 1}, {y = 0, x = -12}, {y = 0, x = -1}, {y = 0, x = 1}
Это – тривиальное решение. Минимальное нетривиальное решение будет при n=1.
> _Z1:=1: Sol;
{x = 3, y = 2}, {y = 2, x = -3}, {x = -3, y = -2}, {x = 3, y = -2}
При n=2 решение, выдаваемое Maple будет содержать радикалы, поэтому придется использовать функцию expand для раскрытия радикалов:
> _Z1:=2: expand(Sol);
{x = 17, y = 12}
Для того, чтобы отменить присвоение _Z1 значения и снова сделать ее свободной переменной, необходимо использовать функцию unassign('_Z1').