Кружок по топологии

Литература

• Книжки
  • Прасолов. Наглядная топология
  • Болтянский, Ефремович. Наглядная топология

Для начала лучше ознакомиться с первой книжкой

• Статьи из Кванта
  • Топология – общие слова про топологию с некоторым количеством картинок
  • Амёба ... в пиджаке – рассказано, как в общих чертах решать задачу про амёбу
  • Топология и ... рельеф местности – описано решение задачи из первого занятия про сёдла, вершины и низины. С картинками!
  • Топологические опыты своими руками 1 2 – тут рассказывается про решение задачи про распутывание людей, а также говорятся некоторые слова про разрезание ленты Мёбиуса
  • Путешествие в топологические головоломки – дополнительная порция топологических головоломок

Ссылки

• Здесь можно поиграть в крестики-нолики на торе и на бутылке Клейна.
• Зажигательная лекция по топологии на английском. Но это не страшно.
• Лекция про шарнирные механизмы. Часть 1
• Лекция про шарнирные механизмы. Часть 2
• Отсюда можно скачать программу Seifert View

Занятие # 10 (04.04.2011)

• Домашнее задание: заклейте узлы на картинках двухсторонними плёнками:
  
  
  
• Программа Seifert View? (см. Ссылки)- вам в помощь для понимания, как это заклеивание вообще выглядит

Занятие # 9 (28.03.2011)

• Домашнее задание:
  • Найдите пространства следующих шарнирных механизмов:
    
    
    

Занятие # 8 (14.03.2011)

• Домашнее задание:
  • Прочитать статью. Можно начинать со слов «Чтобы убедиться, насколько широк ...»

Занятие # 7 (28.02.2011)

• В книжке Болтянского и Ефремовича можно прочитать про доказательство основной теоремы двумерной топологии (стр. 53 (54), параграф 12). Не обещаю, но возможно здесь будет изложено доказательство, которое было на уроке (оно не сильно отличается от того, которое в книжке)
• Домашнее задание:
  • Решить задачу про склейку 4k угольника с прошлого раза.
  • Нарисовали правильный 8-угольник, у него склеили противоположные стороны с сохранением направлений (то есть чтобы не было лент Мёбиуса). Что получится в результате?
  • Тот же вопрос про 6-угольник
  • Обобщите полученные результаты на произвольные \(2k\)-угольники
  • Нарисуйте граф «4 домика 4 колодца» на торе
  • На поверхности \(Q\) нарисован граф, у которого \(V\) вершин, \(E\) рёбер, разбивающий \(Q\) на \(F\) граней, необязательно являющимися дисками (то есть гомеоморфными кругу). Докажите, что \(V – E + F \ge \chi (Q)\).
  • Докажите, что в игре «крестики-нолики» на торе и бутылке Клейна выигрывает первый.
  • У «зубчатой» фигуры на рисунке ниже склеиваются с подкручиванием каждые 2 отрезка, обозначенные одинаково. Докажите, что получающаяся поверхность – односторонняя, а её край гомеоморфен окружности.
    

Занятие # 6 (21.02.2011)

• Домашнее задание:
  • Доказать, что всякая ориентируемая поверхность без края гомеоморфная сфере с \(k\) ручками.
  • В шаре высверлены три сквозных цилиндрических отверстия, оси которых проходят через центр шара. Докажите, что поверхность получившегося тела гомеоморфна сфере с пятью ручками
  • Какая поверхность получится, если склеить стороны с одинаковыми буквами с учётом направлений (см. рис.)?
    
    
  • Какая поверхность получится, если в \(4k\)-угольнике на рисунке склеить одинаково обозначенные стороны с учётом направлений?
    
    
• Про Гомеоморфизм

Занятие # 5 (14.02.2011)

• Домашнее задание:
  • Найдите эйлерову характеристику сферы с \(k\) дырками:
    
    
  • Тот же самый вопрос для сферы с \(k\) ручками
  • Найдите \(\chi (M)\) и \(\chi (K)\), где \(K\) и \(M\) – бутылка Клейна и лента Мёбиуса, соответственно
  • В велосипедной камере сделали дырку. Докажите, что её можно вывернуть наизнанку.

Занятие # 4 (07.02.2011)

• Домашнее задание:
  • Разобраться с Эйлеровой характеристикой \(\chi (S)\):
    • Доказать, что она не зависит от выбора разбивающего графа
    • Пусть \(S_1\) и \(S_2\) – две поверхности, граница каждой из которых – окружность (как на картинке)
    Докажите, что если склеить их по этой окружности и получить S, то \(\chi (S) = \chi (S_1) + \chi (S_2)\)
    
    • Докажите, что \(\chi (S_1 # S_2) = \chi (S_1) + \chi (S_2) – 2
  • Расположить \(K_{3,3}\) на:
    • Торе
    • Ленте Мёбиуса
    • Бутылке Клейна

Занятие # 3 (24.01.2011)

• Здесь можно почитать рассказ «Сердце не с той стороны» (стр. 81), про который я говорил в классе.
• Здесь можно посмотреть на ленту Мёбиуса с границей в форме обычной окружности:

• Задание на дом:
  • Попробовать представить, что получится если склеить ленту Мёбиуса и диск, две ленты Мёбиуса. Можно попробовать перевести это на язык склейки сторон прямоугольника (сколькими способами, кстати говоря, это можно сделать?)
  • Применив метод, который был на уроке (характерные графы), доказать, что при различных \(k, l\) сферу с \(k\) ручками нельзя продеформировать в сферу с \(l\) ручками.

Занятие # 2 (17.01.2011)

• Задание на дом:
  • На занятии я объяснил, что такое разрезание ленты Мёбиуса в отношении \(1:k\). Дома нужно научится отвечать на вопрос, сколько частей получится в зависимости от \(k\), а так же как они будут друг относительно друга расположены (зацеплены или нет)
  • Поломать голову здесь и здесь. Надеюсь, что скоро эти головоломки материализуются в школе.

Занятие # 1 (10.01.2011)

• Задание на дом:
  • Провести несколько приятных минут за разрезанием ленты Мёбиуса в различных отношениях
  • Решить проблему с распутыванием двух людей: