Кружок по топологии

Литература

• Книжки
  • Прасолов. Наглядная топология
  • Болтянский, Ефремович. Наглядная топология

Для начала лучше ознакомиться с первой книжкой

• Статьи из Кванта
  • Топология – общие слова про топологию с некоторым количеством картинок
  • Амёба ... в пиджаке – рассказано, как в общих чертах решать задачу про амёбу
  • Топология и ... рельеф местности – описано решение задачи из первого занятия про сёдла, вершины и низины. С картинками!
  • Топологические опыты своими руками 1 2 – тут рассказывается про решение задачи про распутывание людей, а также говорятся некоторые слова про разрезание ленты Мёбиуса
  • Путешествие в топологические головоломки – дополнительная порция топологических головоломок

Ссылки

• Здесь можно поиграть в крестики-нолики на торе и на бутылке Клейна.
• Зажигательная лекция по топологии на английском. Но это не страшно.

Занятие # 6 (21.02.2011)

• Домашнее задание:
  • Доказать, что всякая ориентируемая поверхность без края гомеоморфная сфере с \(k\) ручками.

Занятие # 5 (14.02.2011)

• Домашнее задание:
  • Найдите эйлерову характеристику сферы с \(k\) дырками:
    
    
  • Тот же самый вопрос для сферы с \(k\) ручками
  • Найдите \(\chi (M)\) и \(\chi (K)\), где \(K\) и \(M\) – бутылка Клейна и лента Мёбиуса, соответственно
  • В велосипедной камере сделали дырку. Докажите, что её можно вывернуть наизнанку.

Занятие # 4 (07.02.2011)

• Домашнее задание:
  • Разобраться с Эйлеровой характеристикой \(\chi (S)\):
    • Доказать, что она не зависит от выбора разбивающего графа
    • Пусть \(S_1\) и \(S_2\) – две поверхности, граница каждой из которых – окружность (как на картинке)
    Докажите, что если склеить их по этой окружности и получить S, то \(\chi (S) = \chi (S_1) + \chi (S_2)\)
    
    • Докажите, что \(chi (S_1 # S_2) = \chi (S_1) + \chi (S_2) – 2
  • Расположить \(K_{3,3}\) на:
    • Торе
    • Ленте Мёбиуса
    • Бутылке Клейна

Занятие # 3 (24.01.2011)

• Здесь можно почитать рассказ «Сердце не с той стороны» (стр. 81), про который я говорил в классе.
• Здесь можно посмотреть на ленту Мёбиуса с границей в форме обычной окружности:

• Задание на дом:
  • Попробовать представить, что получится если склеить ленту Мёбиуса и диск, две ленты Мёбиуса. Можно попробовать перевести это на язык склейки сторон прямоугольника (сколькими способами, кстати говоря, это можно сделать?)
  • Применив метод, который был на уроке (характерные графы), доказать, что при различных \(k, l\) сферу с \(k\) ручками нельзя продеформировать в сферу с \(l\) ручками.

Занятие # 2 (17.01.2011)

• Задание на дом:
  • На занятии я объяснил, что такое разрезание ленты Мёбиуса в отношении \(1:k\). Дома нужно научится отвечать на вопрос, сколько частей получится в зависимости от \(k\), а так же как они будут друг относительно друга расположены (зацеплены или нет)
  • Поломать голову здесь и здесь. Надеюсь, что скоро эти головоломки материализуются в школе.

Занятие # 1 (10.01.2011)

• Задание на дом:
  • Провести несколько приятных минут за разрезанием ленты Мёбиуса в различных отношениях
  • Решить проблему с распутыванием двух людей: