A: Арифметическая прогрессия

Напишите функцию linspace, принимающую на вход действительные числа $x$, $y$ и натуральное число $n$, и возвращающую список с арифметической прогрессией $a_1, a_2, \ldots, a_n$, в которой $a_1 = x$ и $a_n = y$.

Этой функций удобно пользоваться для построение графиков функций.

Нужно сдать только тело функции. В конец программы будет добавлено:

x, y, n = input().split()
print(*linspace(float(x), float(y), int(n)))

B: Парабола

На вход даются числа $a, b, c$. На отрезке $[-5, 5]$ постройте четыре параболы по 101 точкам:
$y = ax^2 + bx + c$,
$y = (a+0.1)x^2 + bx + c$,
$y = ax^2 + (b+0.1)x + c$,
$y = ax^2 + bx + (c+0.1)$.
Не меняйте никаких автоматических параметров графика.

Используйте функцию linspace из предыдущей задачи.

Проведите серию экспериментов. В комментариях ответьте на вопрос: при каких условиях изменение одного из коэффициентов на 0.1 значительно влияют на график параболы и её корни.

0.1 .5 -1

C: Экспоненциальный мотиватор

На вход даётся число $n$. Постройте графики функций $1.01^x$ и $0.99^x$ на отрезке $[0, n]$ по 101 точкам.
Не меняйте никаких автоматических параметров графика.

Используйте функцию linspace из задачи A.

Проведите серию экспериментов. В комментариях ответьте на вопрос: как будет устроен прогресс двух людей за год, один из которых каждый день прогрессирует на 1%, а другой — регрессирует на 1%.

30

D: Число двоичных цифр в степенной функции

На вход даётся число $n$. Постройте графики количества двоичных цифр в числах:
$1^2, 2^2, \ldots, n^2$;
$1^3, 2^3, \ldots, n^3$;
$1^4, 2^4, \ldots, n^4$; Количество двоичных цифр можно получить при помощи метода .bit_length().
Не меняйте никаких автоматических параметров графика.

В этой задаче все значения $x$ целые, поэтому функция linspace не требуется. Используйте просто подходящий range.

Проведите серию экспериментов. В комментариях ответьте на вопрос: как число двоичных цифр изменяется с ростом $n$ и с ростом показателя степени, в которую $n$ возводится?

10

E: Число двоичных цифр в показательной функции

На вход даётся число $n$. Постройте графики количества двоичных цифр в числах:
$2^1, 2^2, \ldots, 2^n$;
$3^1, 3^2, \ldots, 3^n$;
$4^1, 4^2, \ldots, 4^n$;

В этой задаче все значения $x$ целые, поэтому функция linspace не требуется. Используйте просто подходящий range.

Проведите серию экспериментов. В комментариях ответьте на вопрос: как число двоичных цифр изменяется с ростом $n$ и с ростом основания степени? Сравните показательные и степенные функции. Охарактеризуйте их рост.

10

F: Число двоичных цифр в факториале

На вход даётся число $n$. Постройте графики количества двоичных цифр в числах:
$1^2, 2^2, \ldots, n^2$;
$2^1, 2^2, \ldots, 2^n$;
$1!, 2!, \ldots, n!$;
$1^1, 2^2, \ldots, n^n$;
Для вычисления факториала используйте функцию factorial из модуля math.

Проведите серию экспериментов. В комментариях упорядочьте функции $n^2$, $2^n$, $n!$ и $n^n$ по возрастанию и охарактеризуйте разницу в их росте. Рост каких функций «похож» друг на друга при очень больших $n$ (порядка 2000)? Во сколько раз примерно отличается количество двоичных цифр в $1000!$ и в $2^{2000}$?
Попробуйте заменить число 2 в показателе и основании степени на другие: 0.5, 0.9, 1.001, 2, 3. Как меняются функции? Для сравнения нарисуйте их все вместе, подписывая графики. Для этого нужно добавлять параметр label (ax.plot(..., label='2**n'), а перед выводом графика добавить команду ax.legend().

10

G: Асимптотика факториала

На вход даётся число $n$. Постройте графики количества двоичных цифр в числах:
$\left(\frac13\right)^1, \left(\frac23\right)^2, \ldots, \left(\frac n3\right)^n$;
$1!, 2!, \ldots, n!$;
$\left(\frac12\right)^1, \left(\frac22\right)^2, \ldots, \left(\frac n2\right)^n$;
Используйте целочисленное деление.

Проведите серию экспериментов. Попробуйте подобрать такие числа $\alpha$ и $\beta$ так, чтобы «зазор» между графиками функций был как можно меньше и при больших $n$ выполнялось неравенство: $\left(\displaystyle\frac{n}{\alpha}\right)^n < n! < \left(\displaystyle\frac{n}{\beta}\right)^n.$

10

H: График $C_n^k$

На вход даётся число $n$. Постройте графики следущих последовательностей:
$C_{n-1}^0, C_{n-1}^1, \ldots, C_{n-1}^{n-1}$;
$C_{n}^0, C_{n}^1, \ldots, C_{n}^{n}$;
$C_{n+1}^0, C_{n+1}^1, \ldots, C_{n+1}^{n+1}$;

Проведите серию экспериментов. В комментариях ответьте на вопрос: какое из чисел $C_n^k$ при фиксированном $n$ самое большое. Почему? Как выглядят графики при достаточно больших $n$?

5

I: Число двоичных цифр в $C_n^k$

На вход даётся число $n$. Постройте графики количества двоичных цифр в следущих последовательностях:
$C_{n-1}^0, C_{n-1}^1, \ldots, C_{n-1}^{n-1}$;
$C_{n}^0, C_{n}^1, \ldots, C_{n}^{n}$;
$C_{n+1}^0, C_{n+1}^1, \ldots, C_{n+1}^{n+1}$;

Проведите серию экспериментов. В комментариях ответьте на вопрос: что напоминают графики при больших $n$? Насколько они отличаются друг от друга?

5

J: Асимптотика $C_n^{[n/2]}$

На вход даётся число $n$. Постройте графики количества двоичных цифр в следущих последовательностях:
$C_{1}^{[1/4]}, C_{2}^{[2/4]}, \ldots, C_{n}^{[n/4]}$;
$C_{1}^{[1/3]}, C_{2}^{[2/3]}, \ldots, C_{n}^{[n/3]}$;
$C_{1}^{[1/2]}, C_{2}^{[2/2]}, \ldots, C_{n}^{[n/2]}$;
Какой функцией можно неплохо приблизить $C_n^{[n/2]}$ при достаточно большом $n$?

Проведите серию экспериментов. В комментариях ответьте на вопрос: как устроен рост чисел $C_n^{[\alpha n]}$ с ростом $n$ при фиксированном $\alpha$? Попробуйте как можно точнее определить асимптотику $C_{n}^{[n/2]}$.

5

K: Подписи к графику

Нарисуйте график, как можно более похожий на ответ в примере.

Ключевые слова: label, set_title, set_xlabel, set_ylabel, legend, TeX, frac. В формулах в формате $\LaTeX$ не добавляйте пробелы.

10

L: Асимптотика факториала — 2

В этой задаче мы попытаемся точно установить асимптотику факториала. Мы уже видели, как устроен рост степенной и показательной функций, факториала и функции $n^n$. Попробуем собрать факториал из этих «кирпичиков». А именно представим $n!$ так: $n! \approx C \cdot n^\gamma \cdot \alpha^n \cdot n^n.$ То есть в виде произведения константы, степенной функции, показательной функции и $n^n$. Для определения констант $C, \gamma, \alpha$ нам пригодится функция, которая вычисляет отношение факториала к нашей функции.

Напишите функцию f_ratio(n, C, ga, al), которая вычисляет число $\displaystyle\frac{n!}{C \cdot n^\gamma \cdot \alpha^n \cdot n^n}.$ Ответ будет проверяться с относительной точностью $10^{-8}$.
Эта задача содержит в себе пачку нюансов, поэтому после неудачных экспериментов используйте подсказку.

Проведите серию экспериментов. Сначала подберите такие числа $\alpha_1$ и $\alpha_2$, что $|\alpha_1-\alpha_2|\le 0.01$, и $0 < f\_ratio(1000, 1, 0, \alpha_1) \le 1 \le f\_ratio(1000, 1, 0, \alpha_2).$ (При $n=1000$ константа и степенная функция представляют из себя практически «незначительный множитель»).
Затем подберите такое число $\gamma$, что $1/2 < f\_ratio(100, 1, \gamma, \alpha_1) \le 1 \le f\_ratio(100, 1, \gamma, \alpha_2)$
Теперь в качестве $C$ возьмите $(f\_ratio(10, 1, \gamma, \alpha_1) + f\_ratio(10, 1, \gamma, \alpha_2))/2$.
Первое приближение готово. Дальше нужно виртуозно повторять этот цикл, увеличивая $n$ и уточняя полученные константы.
Когда константы будут получены с хорошей точностью, нужно попробовать угадать их точные значения. Для каждой константы $x$ полезно посмотреть на $x, 1/x, 2x, x/2, 1/(2x), 2/x, x^2, 2x^2, x^2/2$ и т.п., среди подобных чисел должны встретиться знакомые.
Если константы правильные, то число $f\_ratio(10^7, C, \gamma, \alpha)$ будет отличаться от 1 не больше, чем на $10^{-8}$. Не так плохо, учитывая, что $10\,000\,000! \approx 1.2024234\cdot 10^{65657059}$.

M: Случайные блуждания

В этой задаче мы будем исследовать случайные блуждания. Случайное блуждание — математическая модель процесса случайных изменений — шагов в дискретные моменты времени. Будем рассматривать самый простой случай: в каждый момент времени делается шаг либо «налево», либо «направо».

Итак, стартуем из точки $(0, 0)$ и делаем $n$ шагов: либо $(1, 1)$, либо $(1, -1)$, причём направление выбираем случайным образом. Получившаяся кривая и есть случайное блуждание.

На вход даются числа $n$ и $k$. Постройте график $k$ случайных блужданий с $n$ шагами.

Для того, чтобы сделать случайный выбор, используйте следующий код:

import random  # Разные функции для генерации псевдослучайных последовательностей
random.seed(179)
# random.seed — специальная команда для того,
# чтобы последовательность «случайных» чисел была одной и той же
# при разных запусках
direction = random.choice((1, -1))

Проведите серию экспериментов. Попробуйте понять, какая кривая «ограничивает» множество точек всех графиков, когда $n=k=100, 200$.
Опишите, как «ведут» себя кривые при $n=10000$ и $k=10$.

10 1

10 2

10 3