Многомерные списки

Обработка и вывод вложенных списков

Часто в задачах приходится хранить прямоугольные таблицы с данными. Такие таблицы называются матрицами или двумерными массивами. В языке программирования Питон таблицу можно представить в виде списка строк, каждый элемент которого является в свою очередь списком, например, чисел. Например, создать числовую таблицу из двух строк и трех столбцов можно так:

A = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6] ]

Здесь первая строка списка A[0] является списком из чисел [1, 2, 3]. То есть A[0][0] == 1, значение A[0][1] == 2, A[0][2] == 3, A[1][0] == 4, A[1][1] == 5, A[1][2] == 6.

Для обработки и вывода списка как правило используется два вложенных цикла. Первый цикл по номеру строки, второй цикл по элементам внутри строки. Например, вывести двумерный числовой список на экран построчно, разделяя числа пробелами внутри одной строки, можно так:

for i in range(len(A)):
    for j in range(len(A[i]):
        print(A[i][j], end = ' ')
    print()

То же самое, но циклы не по индексу, а по значениям списка:

for row in A:
    for elem in row:
        print(elem, end = ' ')
    print()

Естественно для вывода одной строки можно воспользоваться методом join:

for row in A:
    print(' '.join(list(map(str, row))))

Используем два вложенных цикла для подсчета суммы всех чисел в списке:

S = 0
for i in range(len(A)):
    for j in range(len(A[i])):
        S += A[i][j]

Или то же самое с циклом не по индексу, а по значениям строк:

S = 0
for row in A:
    for elem in row:
        S += elem

Создание списка

Пусть даны два числа: количество строк n и количество столбцов m. Необходимо создать список размером n×m, заполненный нулями.

Очевидное решение оказывается неверным:

A = [[0] * m ] * n

В этом легко убедиться, если присвоить элементу A[0][0] значение 1, а потом вывести значение другого элемента A[1][0] — оно тоже будет равно 1! Дело в том, что [0] * m возвращает ccылку на список из m нулей. Но последующее повторение этого элемента создает список из n элементов, которые являются ссылкой на один и тот же список (точно так же, как выполнение операции B = A для списков не создает новый список), поэтому все строки результирующего списка на самом деле являются одной и той же строкой.

Таким образом, двумерный список нельзя создавать при помощи операции повторения одной строки. Что же делать?

Первый способ: сначала создадим список из n элементов (для начала просто из n нулей). Затем сделаем каждый элемент списка ссылкой на другой одномерный список из m элементов:

A = [0] * n
for i in range(n):
    A[i] = [0] * m

Другой (но похожий) способ: создать пустой список, потом n раз добавить в него новый элемент, являющийся списком-строкой:

A = []
for i in range(n):
    A.append([0] * m)

Но еще проще воспользоваться генератором: создать список из n элементов, каждый из которых будет списком, состоящих из m нулей:

A = [[0] * m for i in range(n)]

В этом случае каждый элемент создается независимо от остальных (заново конструируется список [0] * m для заполнения очередного элемента списка), а не копируются ссылки на один и тот же список.

Ввод списка

Пусть программа получает на вход двумерный массив, в виде n строк, каждая из которых содержит m чисел, разделенных пробелами. Как их считать? Например, так:

A = []
for i in range(n):
    A.append(list(map(int, input().split())))

Или, без использования сложных вложенных вызовов функций:

A = []
for i in range(n):
    row = input().split()
    for i in range(len(row)):
        row[i] = int(row[i])
    A.append(row)

Можно сделать то же самое и при помощи генератора:

A = [list(map(int, input().split())) for i in range(n)]

Сложный пример обработки массива

Пусть дан квадратный массив из n строк и n столбцов. Необходимо элементам, находящимся на главной диагонали, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний (то есть тем элементам A[i][j], для которых i == j) присвоить значение 1, элементам, находящимся выше главной диагонали – значение 0, элементам, находящимся ниже главной диагонали – значение 2. То есть получить такой массив (пример для n==4):

Рассмотрим несколько способов решения этой задачи. Элементы, которые лежат выше главной диагонали – это элементы A[i][j], для которых i < j, а для элементов ниже главной диагонали i > j. Таким образом, мы можем сравнивать значения i и j и по ним определять значение A[i][j]. Получаем следующий алгоритм:

for i in range(n):
    for j in range(n):
        if i < j:
            A[i][j] = 0
        elif i > j:
            A[i][j] = 2
        else:
            A[i][j] = 1

Данный алгоритм плох, поскольку выполняет одну или две инструкции if для обработки каждого элемента. Если мы усложним алгоритм, то мы сможем обойтись вообще без условных инструкций.

Сначала заполним главную диагональ, для чего нам понадобится один цикл:

for i in range(n):
    A[i][i] = 1

Затем заполним значением 0 все элементы выше главной диагонали, для чего нам понадобится в каждой из строк с номером i присвоить значение элементам A[i][j] для j=i+1, ..., n-1. Здесь нам понадобятся вложенные циклы:

for i in range(n):
    for j in range(i + 1, n):
        A[i][j] = 0

Аналогично присваиваем значение 2 элементам A[i][j] для j=0, ..., i-1:

for i in range(n):
    for j in range(0, i):
        A[i][j] = 2

Можно также внешние циклы объединить в один и получить еще одно, более компактное решение:

for i in range(n):
    for j in range(0, i):
        A[i][j] = 2
    A[i][i] = 1
    for j in range(i + 1, n):
        A[i][j] = 0

А вот такое решение использует операцию повторения списков для построения очередной строки списка. i-я строка списка состоит из i чисел 2, затем идет одно число 1, затем идет n-i-1 число 0:

for i in range(n):
    A[i] = [2] * i + [1] + [0] * (n - i - 1)

А можно заменить цикл на генератор:

A = [ [2] * i + [1] + [0] * (n - i - 1) for i in range(n)]

Форматирование вывода

В некоторых заданиях этого листка требуется выводить элементы списка аккуратными столбцами, выравнивая числа по правому краю с фиксированной шириной столбца. Это можно сделать разными способами, один из способов: использование метода rjust.

rjust — метод объекта типа str, принимающий два параметра: длину новой строки (ширина поля вывода) и символ-заполнитель: rjust(n, ch). Например, S.rjust(10, '.'). Метод возвращает новую строку, длина которой равна n символов, исходная строка находится в конце результата (то есть исходная строка “выравнивается” по правому краю), лишние позиции заполняются символом ch. Если опустить ch, то в качестве символа-заполнителя используется пробел. Если длина исходной строки была больше n, то возвращается исходная строка без изменений (строка не обрезается).

Аналогично есть методы ljust, выравнивающий строку по левому краю и center, выравнивающий строку по центру результата.

Упражнения

A: Максимум

Найдите индексы первого вхождения максимального элемента. Выведите два числа: номер строки и номер столбца, в которых стоит наибольший элемент в двумерном массиве. Если таких элементов несколько, то выводится тот, у которого меньше номер строки, а если номера строк равны то тот, у которого меньше номер столбца.

Программа получает на вход размеры массива n и m, затем n строк по m чисел в каждой.

Ввод	Вывод
3 4 0 3 2 4 2 3 5 5 5 1 2 3	1 2

B: Снежинка

Дано нечетное число n. Создайте двумерный массив из n×n элементов, заполнив его символами "." (каждый элемент массива является строкой из одного символа). Затем заполните символами "*" среднюю строку массива, средний столбец массива, главную диагональ и побочную диагональ. В результате единицы в массиве должны образовывать изображение звездочки. Выведите полученный массив на экран, разделяя элементы массива пробелами.

Ввод	Вывод
5	* . * . * . * * * . * * * * * . * * * . * . * . *

C: Шахматная доска

Даны два числа n и m. Создайте двумерный массив размером n×m и заполните его символами "." и "*" в шахматном порядке. В левом верхнем углу должна стоять точка.

Ввод	Вывод
3 4	. * . * * . * . . * . *

D: Диагонали параллельные главной

Дано число n. Создайте массив размером n×n и заполните его по следующему правилу. На главной диагонали должны быть записаны числа 0. На двух диагоналях, прилегающих к главной, числа 1. На следующих двух диагоналях числа 2, и т.д.

Ввод	Вывод
5	0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 4 3 2 1 0

E: Побочная диагональ

Дано число n. Создайте массив размером n×n и заполните его по следующему правилу:

Числа на диагонали, идущей из правого верхнего в левый нижний угол равны 1.

Числа, стоящие выше этой диагонали, равны 0.

Числа, стоящие ниже этой диагонали, равны 2.

Полученный массив выведите на экран. Числа в строке разделяйте одним пробелом.

Ввод	Вывод
4	0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 2 1 2 2 2

F: Поменять столбцы

Дан двумерный массив и два числа: i и j. Поменяйте в массиве столбцы с номерами i и j и выведите результат.

Программа получает на вход размеры массива n и m, затем элементы массива, затем числа i и j.

Решение оформите в виде функции SwapColumns(A, i, j).

Обратите внимание, что размеры данного массива не передаются в функцию, функция должна самостоятельно определять размеры массива при помощи вызова len. Запрещено использовать в функции глобальные переменные n и m, значение которых задается вне функции. Это требование относится ко всем последующим задачам, в которых массив передается в функцию.

Ввод	Вывод
3 4 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 0 1	12 11 13 14 22 21 23 24 32 31 33 34

G: Симметричен ли массив?

Дано число n и массив размером n×n. Проверьте, является ли этот массив симметричным относительно главной диагонали. Выведите слово “YES”, если массив симметричный, и слово “NO” в противном случае.

Решение оформите в виде функции IsSymmetric(A), возвращающей True или False.

Ввод	Вывод
3 0 1 2 1 2 3 2 3 4	YES

H: k-я диагональ

Дан квадратный двумерный массив размером n×n и число k. Выведите элементы k-й по счету диагонали ниже главной диагонали (т.е. если k == 1, то нужно вывести элементы первой диагонали, лежащей ниже главной, если k == 2, то второй диагонали и т.д.).

Значение k может быть отрицательным, например, если k == -1, то нужно вывести значение первой диагонали лежащей выше главной. Если k == 0, то нужно вывести элементы главной диагонали.

Программа получает на вход число n, затем массив размером n×n, затем число k.

Сложность алгоритма вывода (без учета ввода данных) должна быть \(O(n)\), то есть нельзя вывод осуществлять проходом по всему двумерному массиву.

Ввод	Вывод
4 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 1	5 1 6
4 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 -2	3 8

I: Транспонировать прямоугольную матрицу

Дан двумерный массив размером n×m. Симметричный ему относительно главной диагонали массив называется транспонированным к данному. Он имеет размеры m×n: строки исходного массива становятся столбцами транспонированного, столбцы исходного массива становятся строками транспонированного.

Для данного массива постройте транспонированный массив и выведите его на экран. Решение оформите в виде функции Transpose(A), получающей на вход данный массив и возвращающей новый массив.

Ввод	Вывод
3 4 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34	11 21 31 12 22 32 13 23 33 14 24 34

J: Транспонировать квадратную матрицу

Дан двумерный массив размером n×n. Транспонируйте его и результат запишите в этот же масссив. Вспомогательный массив использовать нельзя.

Решение оформите в виде функции Transpose(A), получающей на вход данный массив. Функция переставляет элементы внутри массива A, и не возвращает никакого значения.

Ввод	Вывод
3 1 2 3 4 5 6 7 8 9	1 4 7 2 5 8 3 6 9

K: Поменять две диагонали

Дан квадратный массив. Поменяйте местами элементы, стоящие на главной и побочной диагонали, при этом каждый элемент должен остаться в том же столбце (то есть в каждом столбце нужно поменять местами элемент на главной диагонали и на побочной диагонали).

Решение оформите в виде функции SwapDiagonals(A). Функция переставляет элементы внутри массива A, и не возвращает никакого значения.

Ввод	Вывод
3 1 2 3 4 5 6 7 8 9	7 2 9 4 5 6 1 8 3

L: Таблица умножения

По данным числам n и m создайте массив из n строк и m столбцов и заполните его таблицей умножения чисел от 1 до n на числа от 1 до m (должен получиться массив, заполненный значениями типа int).

Выведите полученную таблицу, отводя на вывод каждого числа ровно 4 символа, то есть таблица при выводе должна состоять из столбцов шириной в 4 символа, числа должны быть выровнены по правому краю столбца (в каждой строке должно быть выведено 4*m символов).

Ввод	Вывод
4 5	1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20

M: Число маршрутов короля

В левом верхнем углу доски размером n×m стоит шахматный король. За один ход он может сделать ход вправо, вниз или на одну клетку по диагонали вправо-вниз. Посчитайте количество маршрутов, ведущий из левого верхнего угла доски в правый нижний.

Программа получает на вход размеры доски (числа n и m) и должна вывести число искомых маршрутов.

Ввод	Вывод
3 4	25

N: Одномерный список в двумерный

Дан одномерный список из \(n\times m\) элементов. Сделайте из него двумерный список из \(n\) строк по \(m\) элементов в каждой.

Программа получает на вход числа \(n\) и \(m\). Во второй строке записано \(nm\) целых чисел через пробел.

Считайте данный список. Затем создайте из него двумерный список и выведите его в виде двумерной таблицы, разделяя элементы одним пробелом.

Решение оформите в виде функции, принимающий в качестве параметров одномерный список и числа n, m и возвращающей двумерный массив.

Ввод	Вывод
2 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

O: Заполнение змейкой

По данным числам n и m заполните двумерный массив размером n×m числами от 1 до n×m “змейкой”, как показано в примере (должен получиться массив, заполненный значениями типа int).

Выведите полученный массив, отводя на вывод каждого элемента ровно 4 символа.

Ввод	Вывод
3 5	1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 11 12 13 14 15

P: Заполнение диагоналями

По данным числам n и m заполните двумерный массив размером n×m числами от 1 до n×m “диагоналями”, как показано в примере. (должен получиться массив, заполненный значениями типа int).

Выведите полученный массив, отводя на вывод каждого элемента ровно 4 символа.

Ввод	Вывод
3 5	1 2 4 7 10 3 5 8 11 13 6 9 12 14 15

Q: Поворот прямоугольного массива

Дан прямоугольный массив размером n×m. Поверните его на 90 градусов по часовой стрелке, записав результат в новый массив размером m×n.

Выведите получившийся массив. Числа при выводе разделяйте одним пробелом. Решение оформите в виде функции Rotate(A), получающей на вход данный массив и возвращающей новый массив.

Ввод	Вывод
3 4 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34	31 21 11 32 22 12 33 23 13 34 24 14

R: Поворот квадратного массива

Дан квадратный массив. Поверните его на 90 градусов по часовой стрелке. Результат запишите в этот же массив, вспомогательный массив использовать нельзя.

Выведите результат на экран, разделяя числа одним пробелом.

Решение оформите в виде функции Rotate(A), получающей на вход данный массив. Функция переставляет элементы внутри массива A, и не возвращает никакого значения.

Ввод	Вывод
3 1 2 3 4 5 6 7 8 9	7 4 1 8 5 2 9 6 3

S: Заполнение в шахматном порядке

Даны числа n и m. Заполните массив размером n×m в шахматном порядке: клетки одного цвета заполнены нулями, а другого цвета — заполнены числами натурального ряда сверху вниз, слева направо (должен получиться массив, заполненный значениями типа int). В левом верхнем углу записано число 1.

Выведите полученный массив на экран, отводя на вывод каждого элемента ровно 4 символа.

Ввод	Вывод
3 5	1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8

T: Кинотеатр

В кинотеатре n рядов по m мест в каждом. В двумерном массиве хранится информация о проданных билетах, число 1 означает, что билет на данное место уже продано, число 0 означает, что место свободно. Поступил запрос на продажу k билетов на соседние места в одном ряду. Определите, можно ли выполнить такой запрос.

Программа получает на вход числа n и m. Далее идет n строк, содержащих m чисел (0 или 1), разделенных пробелами. Затем дано число k.

Программа должна вывести номер ряда, в котором есть k подряд идущих свободных мест. Если таких рядов несколько, то выведите номер наименьшего подходящего ряда. Если подходящего ряда нет, выведите число 0. Ряды нумеруются сверху вниз, начиная с единицы.

Ввод	Вывод
3 4 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2	2
3 3 0 1 0 1 0 0 1 1 1 3	0

U: Сапер

На поле для игры в сапер клеточки с минами обозначаются символом “*”, а в каждой пустой клеточке записано число от 0 до 8, равное количеству мин в 8 клетках, соседних с данной.

Дан список мин на поле. Постройте по данному списку изображение поля.

Программа получает на вход числа N и M - количество строк и столбцов на поле, а также количество мин на поле K. Далее идет K пар чисел - координат мин. Первое число - номер строки, второе число - номер столбца.

Выведите изображение поля на экран, клетки при выводе разделяйте одним пробелом.

Тесты к этой задаче закрытые.

Ввод	Вывод
3 2 2 1 1 2 2	* 2 2 * 1 1
2 2 0	0 0 0 0

V: Ходы коня

Дана шахматная доска из \(N\) строк и \(M\) столбцов. На ней стоит \(K\) шахматных коней. Постройте изображение доски, отметив на ней коней и клетки, которые бьют кони.

Клетку, где стоит конь, отметьте буквой “K”, клетки, которые бьет конь (но в ней нет коня), отметьте символами “*”, остальные клетки заполните точками.

Первая строка входных данных содержит три числа \(N\), \(M\), \(K\): количество строк доски, количество столбцов в доске и количество коней на доске (\(1\le N\le 300\), \(1\le M\le 300\), \(0\le K \le 10000\)).

В следующих \(K\) строках содержатся координаты коней по два числа \(x_i\), \(y_i\) (\(0\le x_i\lt N\), \(0\le y_i\lt M\)), номер строки и номер столбца очередного коня соответственно (нумерация с нуля сверху вниз, слева направо).

Выведите на экран изображение доски, разделяя символы в строке пробелами.

Решение должно иметь сложность \(O(NM + K)\), решение сложности \(O(NMK)\), то есть перебирающее все клетки доски, и для каждой клетки перебирающее всех коней, не пройдет по времени.

Решение, в котором все возможные ходы коня перебираются “ручным” разбором случаев, приниматься не будут. Как красиво перебирать ходы коня:

MOVES = [[2, 1], [2, -1], [1, 2], [1, -2], [-1, 2], [-1, -2], [-2, 1], [-2, -1]]
...
for dx, dy in MOVES:
    nx, ny = x + dx, y + dy

Ввод	Вывод
4 7 2 1 1 3 6	. . . * . . . . K . . . * . . . . * * . . * . * . . . K
3 3 2 1 0 2 2	. * * K . . . . K

W: Ходы ферзя

Решите предыдущую задачу для ферзя. Ферзь обозначается буквой “Q”. Ограничение на количество ферзей: \(0\le K\le 300\). Требуемая сложность алгоритма: \(O(NM + K(N + M))\).

Ввод	Вывод
4 7 1 1 1	* * * . . . . * Q * * * * * * * * . . . . . * . * . . .
3 3 2 0 0 2 0	Q * * * * . Q * *

X: Заполнение спиралью

По данным числам n и m заполните двумерный массив размером n×m числами от 1 до n×m по спирали, выходящей из левого верхнего угла и закрученной по часовой стрелке, как показано в примере (должен получиться массив, заполненный значениями типа int).

Выведите полученный массив, отводя на вывод каждого элемента ровно 4 символа.

Тесты к этой задаче закрытые.

Ввод	Вывод
4 5	1 2 3 4 5 14 15 16 17 6 13 20 19 18 7 12 11 10 9 8