В этом листочке речь пойдет о действительных числах, имеющих тип float.

Обратите внимание, что если вы хотите считать с клавиатуры действительное число, то результат, возращаемый функцией input() необходимо преобразовывать к типу float:

x = float(input())

Действительные (вещественные) числа представляются в виде чисел с десятичной точкой (а не запятой, как принято при записи десятичных дробей в русский текстах). Для записи очень больших или очень маленьких по модулю чисел используется так называемая запись “с плавающей точкой” (также называемая “научная” запись). В этом случае число представляется в виде некоторой десятичной дроби, называемой мантиссой, умноженной на целочисленную степень десяти (порядок). Например, расстояние от Земли до Солнца равно 1.496·10¹¹, а масса молекулы воды 2.99·10^-23.

Числа с плавающей точкой в программах на языке Питон, а также при вводе и выводе записавыются в виде мантиссы, затем пишется буква e, затем пишется порядок. Пробелы внутри этой записи не ставятся. Например, указанные выше константы можно записать в виде 1.496e11 и 2.99e-23. Перед самим числом также может стоять знак минус.

Напомним, что результатом операции деления / всегда является действительное число, в то время как результатом операции // является целое число.

Преобразование действительных чисел к целому производится с округлением в сторону нуля, то есть int(1.7) == 1, int(-1.7) == -1.

Библиотека math

Для проведения вычислений с действительными числами язык Питон содержит много дополнительных функций, собранных в библиотеку (модуль), которая называется math.

Для использования этих функций в начале программы необходимо подключить математическую библиотеку, что делается командой

import math

Функция от одного аргумента вызывается, например, так: math.sin(x) (то есть явно указывается, что из модуля math используется функция sin). Вместо числа x может быть любое число, переменная или выражение. Функция возращает значение, которое можно вывести на экран, присвоить другой переменной или использовать в выражении:

y = math.sin(x)
print(math.sin(math.pi/2))

Другой способ использовать функции из библиотеки math, при котором не нужно будет при каждом использовании функции из модуля math указывать название этого модуля, выглядит так:

from math import *

y = sin(x)
print(sin(pi/2))

Ниже приведен список основных функций модуля math. Более подробное описание этих функций можно найти на сайте с документацией на Питон.

Некоторые из перечисленных функций (int, round, abs) являются стандартными и не требуют подключения модуля math для использования.

Упражнения

01: Дробная часть

Дано положительное действительное число X. Выведите его дробную часть абсолютно точно. Исходное число содержит не более 6 знаков после десятичной точки.

17.9

0.9

02: Первая цифра после точки

Дано положительное действительное число X. Выведите его первую цифру после десятичной точки. При решении этой задачи нельзя пользоваться условной инструкцией и циклом.

1.79

7

03: Округление по российским правилам

По российский правилам числа округляются до ближайшего целого числа, а если дробная часть числа равна 0.5, то число округляется вверх.

Дано неотрицательное число x, округлите его по этим правилам. Обратите внимание, что функция round не годится для этой задачи!

2.3

2

2.5

3

04: Площадь треугольника

Даны длины сторон треугольника. Вычислите площадь треугольника.

3
4
5

6.0

1
1
1

0.4330127018922193

05: Часы - 1

С начала суток прошло $H$ часов, $M$ минут, $S$ секунд ($0\le H <12$, $0\le M < 60$, $0\le S < 60$). По данным числам $H$, $M$, $S$ определите угол (в градусах), на который повернулаcь часовая стрелка с начала суток и выведите его в виде действительного числа.

При решении этой задачи нельзя пользоваться условными инструкциями и циклами.

1
2
6

31.05

06: Часы - 2

С начала суток часовая стрелка повернулась на угол в $\alpha$ градусов. Определите на какой угол повернулась минутная стрелка с начала последнего часа. Входные и выходные данные — действительные числа.

При решении этой задачи нельзя пользоваться условными инструкциями и циклами.

Пример

190

120.0

07: Часы - 3

С начала суток часовая стрелка повернулась на угол в $\alpha$ градусов. Определите сколько полных часов, минут и секунд прошло с начала суток, то есть решите задачу, обратную задаче F. Запишите ответ в три переменные и выведите их на экран.

При решении этой задачи нельзя пользоваться условными инструкциями и циклами.

31.05

1 2 6

08: Проценты

Процентная ставка по вкладу составляет P процентов годовых, которые прибавляются к сумме вклада. Вклад составляет X рублей Y копеек. Определите размер вклада через год.

Программа получает на вход целые числа P, X, Y и должна вывести два числа: величину вклада через год в рублях и копейках. Дробная часть копеек отбрасывается.

При решении этой задачи нельзя пользоваться условными инструкциями и циклами.

12
179
0

200 48

09: Сложные проценты

Процентная ставка по вкладу составляет P процентов годовых, которые прибавляются к сумме вклада через год. Вклад составляет X рублей Y копеек. Определите размер вклада через K лет.

Программа получает на вход целые числа P, X, Y, K и должна вывести два числа: величину вклада через год в рублях и копейках. Дробное число копеек по истечение года отбрасывается. Перерасчет суммы вклада (с отбрасыванием дробных частей копеек) происходит ежегодно.

12
179
0
5

315 43

10: Цена товара

Цена товара обозначена в рублях с точностью до копеек, то есть действительным числом с двумя цифрами после десятичной точки. Запишите в две целочисленные переменные стоимость товара в виде целого числа рублей и целого числа копеек и выведите их на экран.

При решении этой задачи нельзя пользоваться условными инструкциями и циклами.

10.35

10 35

11: Квадратное уравнение - 1

Даны действительные коэффициенты $a$, $b$, $c$, при этом $a\ne0$. Решите квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ и выведите все его корни. Если уравнение имеет два корня, выведите два корня в порядке возрастания, если один корень — выведите одно число, если нет корней — не выводите ничего.

1
-1
-2

-1.0 2.0

12: Квадратное уравнение - 2

Даны произвольные действительные коэффициенты $a$, $b$, $c$. Решите уравнение $ax^2+bx+c=0$.

Если данное уравнение не имеет корней, выведите число 0. Если уравнение имеет один корень, выведите число 1, а затем этот корень. Если уравнение имеет два корня, выведите число 2, а затем два корня в порядке возрастания. Если уравнение имеет бесконечно много корней, выведите число 3.

Тесты к этой задаче закрытые.

1
-1
-2

2 -1.0 2.0

-1
2
-1

1 1.0

13: π²/6

По данному числу n вычислите сумму $1+\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+...+\displaystyle\frac{1}{n^2}$.

3

1.3611111111111112

Знаете ли вы, что этот ряд сходится к $\pi^2/6$?

14: ln 2

По данному числу n вычислите сумму $1-\displaystyle\frac12+\displaystyle\frac13-\displaystyle\frac14++...+\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n}$.

Операцией возведения в степень пользоваться нельзя. Алгоритм должен иметь сложность O(n). Попробуйте также обойтись без использования инструкции if.

3

0.8333333333333333

Этот ряд сходится к значению ln 2.

15: Геометрическая прогрессия

Забудьте формулу суммы геометрической прогрессии и вычислите сумму $1+x+x^2+...+x^n$.

Программа получает на вход целое число n и действительное число x. Операцией возведения в степень пользоваться нельзя. Алгоритм должен иметь сложность O(n) (то есть должен содержать только один цикл).

4
0.1

1.1111

16: Просто π

По данному числу n вычислите сумму $4\left(1-\displaystyle\frac13+\displaystyle\frac15-\displaystyle\frac17+...+\displaystyle\frac{(-1)^n}{2n+1}\right)$

Операцией возведения в степень пользоваться нельзя. Алгоритм должен иметь сложность O(n).

2

3.466666666666667

Этот ряд сходится к числу $\pi$.

17: Экспонента

По данному целому числу n и действительному числу x вычислите сумму $1+\displaystyle\frac{x}{1!}+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+...+\displaystyle\frac{x^n}{n!}$

Операцией возведения в степень пользоваться нельзя. Алгоритм должен иметь сложность O(n).

2
0.1

1.105

10
0

1.0

100
1

2.7182818284590455

Этот ряд сходится к $e^x$ при росте $n$.

18: Косинус

По данному целому числу n и действительному числу x вычислите сумму $1-\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}-\displaystyle\frac{x^6}{6!}+...+(-1)^n\displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Операцией возведения в степень пользоваться нельзя. Алгоритм должен иметь сложность O(n).

2
0.1

0.9950041666666667

10
0

1.0

50
3.14159

-0.9999999999964793

Этот ряд сходится к $\cos x$ при росте $n$ (углы измеряются в радианах).

19: Сумма с корнями

По данным натуральным числам n и a вычислите сумму $$\sqrt{a + \sqrt{2a + ... + \sqrt{ (n-1)a + \sqrt{na}} } }$$

3
2

2.1306300854586997

20: Схема Горнера

Дан многочлен $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ и число $x$. Вычислите значение этого многочлена, воспользовавшись схемой Горнера: $$P(x)= \left( ... \left( \left( \left( a_n x + a_{n-1} \right) x + a_{n-2} \right) x + a_{n-3} \right) ... \right) x + a_{0}$$

Сначала программе подается на вход целое неотрицательное число $n\le20$, затем действительное число $x$, затем следует $n+1$ вещественное число — коэффициенты многочлена от старшего к младшему. Программа должна вывести значение многочлена.

При решении этой задачи нелья использовать массивы и операцию возведения в степень. Программа должна иметь сложность O(n).

1
0
1
1

1.0

2
0.5
1
1
1

1.75

21: Система линейных уравнений - 1

Даны числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$. Известно, что система линейных уравнений $$\cases{ax + by = e, \cr cx + dy = f.}$$

имеет ровно одно решение. Выведите два числа $x$ и $y$, являющиеся решением этой системы.

1
0
0
1
3
3

3.0 3.0

Баллистическая траектория

Пусть в момент времени 0 снаряд находится в точке с координатами $x_0$ и $y_0$ и имеет начальную скорость, компоненты которой вдоль осей равны $V_{x0}$ и $V_{y0}$ соответственно. Ускорение свободного падения равно $g$. Тогда координаты снаряда в момент времени $t$ можно найти по формулам:
$x_t=x_0+t\cdot V_{x0}$
$y_t=y_0+t\cdot V_{y0}−\displaystyle\frac{g\cdot t^2}{2}$

22: Баллистическая задача - 1

Самолет летит на высоте $h$ метров со скоростью $v$ м/c. Ему необходимо поразить бомбой цель. На каком расстоянии $x$ от цели (в метрах) необходимо выпустить бомбу?

Программа получает на вход вещественные числа $h$ и $v$ и должна вывести значение $x$.

В этой и последующей задачах ускорение свободного падения $g=9.8$, сопротивлением воздуха пренебречь.

1000
300

4285.714285714285

23: Баллистическая задача - 2

Пушка стреляет снарядом со скоростью $v$ м/c под углом $\alpha$ к горизонту (в радианах). На каком расстоянии $x$ (в метрах) от пушки упадет снаряд?

Программа получает на вход числа $v$ и $\alpha$ и должна вывести значение $x$.

500
0.2

9934.141385424757

24: Баллистическая задача - 3

В условиях предыдущей задачи по данной скорости выстрела $v$ и расстоянию до цели $x$ определите, под каким углом $\alpha$ к горизонту (в радианах) необходимо произвести выстрел для поражения цели.

Программа получает на вход числа $v$ и $x$ и должна вывести все возможные значения $\alpha$ в порядке возрастания. Если поразить цель невозможно, программа должна вывести одно число 0.

500
10000

0.2014022918218565
1.36939403497304

100
10000

0

25: Баллистическая задача - 4

Пушка стреляет снарядом со скоростью $v$ м/c и должна поразить цель, находящуюся на расстоянии $x$ метров по горизонтали и на высоте $y$ метров. Под каким углом $\alpha$ к горизонту (в радианах) необходимо произвести выстрел?

Программа получает на вход числа $v$, $x$, $y$ и должна вывести все возможные значения $\alpha$ в порядке возрастания. Если поразить цель невозможно, программа должна вывести одно число 0.

500
10000
100

0.2118388917004956
1.3689571017810664

400
10000
8000

0

26: Система линейных уравнений - 2

Даны числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$. Решите систему линейных уравнений $$\cases{ax + by = e, \cr cx + dy = f.}$$

Вывод программы зависит от вида решения этой системы.

Если система не имеет решений, то программа должна вывести единственное число 0.

Если система имеет бесконечно много решений, каждое из которых имеет вид $y=kx+b$, то программа должна вывести число 1, а затем значения $k$ и $b$.

Если система имеет единственное решение $(x_0,y_0)$, то программа должна вывести число 2, а затем значения $x_0$ и $y_0$.

Если система имеет бесконечно много решений вида $x=x_0$, $y$ — любое, то программа должна вывести число 3, а затем значение $x_0$.

Если система имеет бесконечно много решений вида $y=y_0$, $x$ — любое, то программа должна вывести число 4, а затем значение $y_0$.

Если любая пара чисел $(x,y)$ является решением, то программа должна вывести число 5.

Тесты к этой задаче закрытые.

1
0
0
1
3
3

2 3.0 3.0

1
1
2
2
1
2

1 -1.0 1.0

0
2
0
4
1
2

4 0.5