Действительные числа

Целочисленные типы

Ранее рассматривался только один тип целочисленных переменных — int. На самом деле существует несколько основных целочисленных типов, тип int — лишь один (но наиболее часто используемый) из них.

Таблица основных целочисленных типов.

Название Размер Знаковый Синонимы
short 2 байта Знаковый short int, signed short, signed short int
unsigned short 2 байта Беззнаковый unsigned short int
int 4 байта Знаковый signed int
unsigned 4 байта Беззнаковый unsigned int
long 4 байта Знаковый long int, signed long, signed long int
unsigned long 4 байта Беззнаковый unsigned long int
long long 8 байт Знаковый long long int, signed long long, signed long long int
unsigned long long 8 байт Беззнаковый unsigned long long int

То есть типы бывают “короткими” (short), обычными, длинными (long) и очень длинными (long long). Последний тип является расширением компилятора GNU C++ и не является стандартным типом для языка C++, поэтому он может отсутствовать в других реализациях языка или называться по-другому (например, в компиляторе Microsoft Visual C++ аналогичный тип называется int64). Чем “длиннее” тип, тем большее число различных значений он может принимать, тем больше памяти он занимает. Также типы бывают знаковыми (signed), которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения и беззнаковые (unsigned), которые принимают только неотрицательные значения.

Таблица значений, которые могут принимать различные типы:

Название Размер Минимальное значение Максимальное значение
short 16 бит -215 =- 32768 215-1 = 32767
unsigned short 16 бит 0 216-1 = 65535
int, long 32 бита -231 = -2147483648 231-1 = 2147483647
unsigned, unsigned long 32 бита 0 232-1 = 4294967295
long long 64 бита -263 = -9223372036854775808 263-1 = 9223372036854775807
unsigned long long 64 бита 0 264-1 = 18446744073709551615

На самом деле в стандарте языка C++ не оговорены конкретные значения размеров типов. Оговорено только то, что одинаковые знаковые и беззнаковые типы имеют одинаковые размеры, и размер меньшего типа всегда не превосходит размера большего типа. Вот какие размеры могут быть у этих типов в зависимости от разрядности процессора компьютера:

Тип 16-битный процессор 32-битный процессор 64-битный процессор
short 2 байта 2 байта 2 байта
int 2 байта 4 байта 4 байта
long 4 байта 4 байта 8 байт
long long 8 байт 8 байт

Действительные типы

Действительные (вещественные) числа представляются в виде чисел с десятичной точкой (а не запятой, как принято при записи десятичный дробей в русский текстах). Для записи очень больших или очень маленьких по модулю чисел используется так называемая запись “с плавающей точкой” (также называемая “научная” запись). В этом случае число представляется в виде некоторой десятичной дроби, называемой мантиссой, умноженной на целочисленную степень десяти (порядок). Например, расстояние от Земли до Солнца равно 1.496·1011, а масса молекулы воды 2.99·10-23.

Числа с плавающей точкой в программах на языке C++, а также при вводы и выводе записавыются в виде мантиссы, затем пишется буква e, затем пишется порядок. Пробелы внутри этой записи не ставятся. Например, указанные выше константы можно записать в виде 1.496e11 и 2.99e-23. Перед самим числом также может стоять знак минус.

Для представления в памяти ЭВМ действительных чисел существует три типа:

Тип Точность Размер Количество знаков мантиссы Минимальное положительное значение Максимальное значение
float Одинарная 4 байта 7 1.4e-45 3.4e38
double Двойная 8 байт 15 5.0e-324 1.7e308
long double Расширенная 10 байт 19 1.9e-4951 1.1e4932

Операция деления

Для действительных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления.

При этом операция деления выполняется по-разному для переменных и констант целочисленного типа и для переменных и констант действительных типов. В первом случае деление производится нацело с отбрасыванием дробной части, во втором случае — деление производится точно и результатом является действительное число. Более точно, если делимое и делитель одновременно являются целочисленными константами или переменными целочисленных типов, то деление будет целочисленным, а если хотя бы одно из них  действительное, то деление будет действительным. Например:

cout << 10  / 3  << endl;
cout << 10. / 3  << endl;
cout << 10  / 3. << endl;
cout << 10. / 3. << endl;

выведет 3 в первой строке и 3.33333 в остальных строках.

Результат выполнения деления не зависит от того, какой переменной будет присвоен результат. Если написать double a = 10 / 3;, то переменная a будет равна 3, так как деление 10/3 будет целочисленным, независимо от того, чему будет присвоен результат.

Приведение типов

Иногда возникает необходимость привести выражение одного типа к такому же выражению другого типа. Например, если есть две переменные a и b типа int и требуется вычислить их частное (не целочисленное) и записать в переменную d типа double. Следующий код:

double d;
d = a / b

будет неверным, т.к. деление a / b будет целочисленным. Правильный код такой:

double d;
d = (double)a / b;

В этом примере используется операция приведения типа: (double)a. Эта операция возвращает значение типа double, но равное значению переменной a. В результате деление будет выполняться, как деление вещественных чисел, поскольку будет выполняться деление действительного значения на целочисленное.

Операция приведения типа не меняет тип самой переменной и ее значение, а только возвращает значение другого типа.

Упражнение

Определите, чему будут равны следующие переменные

int a = 13 / 5;
int b = 13 % 5;
int c = 13.0 / 5;
double d = 13 / 5;
double e = 13 % 5;
double f = 13.0 / 5;
double g = 13 / 5 + 2 / 5;
double h = 13.0 / 5 + 2.0 / 5;
int i = 13.0 / 5 + 2.0 / 5;

Список функций

В стандартную математическую библиотеку языка Си (а, значит, и C++) входит множество специальных математических функций, которые нужно знать и уметь использовать. Для того, чтобы использовать эти функции в своей программе, необходимо подключить заголовочный файл, содержащий описания этих функций, что делается строчкой в начале программы:

#include <cmath>

Функция от одного аргумента вызывается, например, так: sin(x). Вместо числа x может быть любое число, переменная или выражение. Функция возращает значение, которое можно вывести на экран, присвоить другой переменной или использовать в выражении:

y = sin(x);
cout << sqrt(2) << endl;
Функция Описание
Округление
round Округляет число по правилам арифметики, то есть round(1.5) == 2, round(-1.5) == -2
floor Округляет число вниз (“пол”), при этом floor(1.5) == 1, floor(-1.5) == -2
ceil Округляет число вверх (“потолок”), при этом ceil(1.5) == 2, ceil(-1.5) == -1
trunc Округление в сторону нуля (отбрасывание дробной части), при этом trunc(1.5) == 1, trunc(-1.5) == -1
fabs Модуль (абсолютная величина)
Корни, степени, логарифмы
sqrt Квадратный корень. Использование: sqrt(x)
cbrt Кубический корень. Использование: cbrt(x)
pow Возведение в степень, возвращает ab. Использование: pow(a,b)
exp Экспонента, возвращает ex. Использование: exp(x)
log Натуральный логарифм
log10 Десятичный логарифм
Тригонометрия
sin Синус угла, задаваемого в радианах
cos Косинус угла, задаваемого в радианах
tan Тангенс угла, задаваемого в радианах
asin Арксинус, возвращает значение в радианах
acos Арккосинус, возвращает значение в радианах
atan Арктангенс, возвращает значение в радианах

Также в файле cmath есть набор полезных числовых констант, например, константа M_PI хранит значение числа \(\pi\).

В компиляторе Visual C++ для использования этих констант необходимо объявить директиву препроцессора _USE_MATH_DEFINES перед подключения заголовочного файла cmath.

#define _USE_MATH_DEFINES
#include <cmath>

Точность вывода

По умолчанию действительные числа выводятся с точностью в 6 знаков, но в переменной типа double числа храняться с точностью в 15-16 знаков. Для того, чтобы вывести число с большей точностью, например, с точностью в 15 знаков, нужно выполнить команду:

cout.precision(15);