В России нет роста заболеваемости коронавирусом по экспоненте...
прирост составляет около 1800-1900 новых случаев за сутки, то есть 17-18 процентов.
Вице-премьер Татьяна Голикова в пересказе журналистов, 13 апреля 2020.
Скачайте таблицу с данными о числе выявленных случаев COVID-19 в России. Постройте график количества выявленных случаев по дате, пример:
Здесь построены два графика, на одном — обычная система координат, на другом — по оси OY выбрана логарифмическая шкала. Для того, чтобы в Libre Office Calc сделать логарифмическую шкалу, нужно построить обычный график, затем выделить построенный график, правой кнопкой мыши щёлкнуть на оси OY, выбрать в контекстном меню “Формат оси“.
Видно, что число заболевших растёт экспоненциально, в логарифмической шкале экспоненциальный рост выглядит, как прямая линия. Такая модель распространения называется моделью неограниченного роста. В модели неограниченного роста величина популяции растёт пропорционально величине самой популяции, то есть ежедневный прирост популяции равен размеру самой популяции, умноженному на коэффицицент.
Если обозначить размер популяции в день \(n\) как \(x_n\), то тогда \(x_{n+1}=ax_n\), где \(a\gt1\) — коэффициент прироста.
Выполните задание. В данную таблицу добавьте столбец C —количество выявленных случаев COVID-19 в России в модели неограниченного роста. Значение коэффициента \(a\) выпишите в отдельной ячейке. Постройте два графика: с обычной шкалой и с логарифмической шкалой. На каждом из двух графиков должно быть две линии: количество выявленных случаев (реальные данные) и количество случаев в модели неограниченного роста.
Изменяя значение коэффициента \(a\) и начальный размер популяции в модели неограниченного роста, добейтесь того, чтобы графики максимально совпадали. Начальный размер популяции в модели нужно менять потому, что при малых значениях модель может быть неточной.
Также ответьте на вопросы (запишите ответы в верхних строках таблицы).
В городе М. проживает 15 миллионов жителей. В день ноль в город прилетает самолёт из Куршавеля, в котором 100 пассажиров и у каждого чемодан вирусов.
Продолжительность болезни составляет 14 дней, в течение 14 дней после заражения человек выздоравливает и перестает быть заразным для окружающих. Выздоровевший человек вырабатывает иммунитет и повторно не заболевает.
Количество новых заболевших в течение дня пропорционально числу встреч больных и здоровых, то есть равно \(k\times\{\text{число восприимчивых}\} \times\{ \text{число больных}\} \), где {число восприимчивых} —это количество жителей, не заболевших до этого, {число больных} — количество заболевших в течение 14 последних дней.
Известно, что в первые дни средний прирост числа заболевших составлял 20% в день. Подберите значение \(k\) исходя из этого.
Постройте модель развития эпидемии. Постройте графики числа заболевших в течение дня, числа восприимчивых и переболевших людей. Сравните число заболевших со статистическими данными.
Ответьте на вопросы:
На самом деле возможности неограниченного роста у популяции нет, так как обычно возможности роста ограничены. Например, популяция волков в лесу ограничена, поскольку каждому волку для прокорма необходима некоторая территория, на которой не может прокормиться неограниченное число волков. Если ареалы обитания отдельных волков пересекаются, то объем пищи, который достается каждому из них уменьшается и уменьшается скорость роста популяции.
Введем в формулу неограниченного роста дополнительный член, замедляющий скорость роста в случае большой популяции. Будем считать, что это замедление зависит от вероятности встречи двух волков, то есть пропорционален квадрату количества волков. Получаем формулу рекуррентного соотношения для модели ограниченного роста: \[ x_{n+1}=ax_n-bx_n^2. \]
Здесь значение коэффициента \(b\) должно быть существенно меньше коэффициента \(a\).
Модель ограниченного роста приводит к стабилизации численности популяции.
Рассмотрим теперь модели, в которой есть две популяции. Количество особей первой популяции обозначим \(x_n\), количество особей второй популяции обозначим \(y_n\). В модель добавим дополнительные слагаемые, учитывающие межвидовое взаимодействие. Эти слагаемые пропорциональны вероятности контакта двух видов, то есть имеют вид \(cx_ny_n\): \[ \cases{x_{n+1}=a_1x_n-b_1x_n^2+c_1x_ny_n,\cr y_{n+1}=a_2y_n-b_2y_n^2+c_2x_ny_n.} \]
Рассмотрим варианты. В конкурентной модели два вида борются за общие ресурсы, встреча двух особей разных видов вредит каждому из них. В этой модели \(a_1\gt 1\), \(a_2\gt 1\), \(c_1\lt 0\), \(c_2\lt 0\).
Такая модель неустойчива и приводит к подавлению одного вида другим.
В симбиотической модели организмы-симбионты помогают друг другу. В этой модели \(c_1\gt 0\), \(c_2\gt 0\), \(b_1\gt c_1\), \(b_2\gt c_2\) (последние два неравенства нужны, чтобы избежать ситуации бесконечного роста популяций).
Эта модель приводит к стабилизации системы.
В модели хищник–жертва имеется две популяции: жертвы и хищники, например, зайцы и волки.
Условия на коэффициенты следующие: \(a_1\gt 1\), \(a_2\lt 1\) (популяция зайцев без волков растёт, в то время как популяция волков без зайцев уменьшается); \(с_1\lt 0\), \(c_2\gt 0\) (встреча жертвы с хищником уменьшает количество жертв, но благоприятно сказывается на хищниках, т.к. это получение пищи хищником).
Модель хищник–жертва приводит к волнообразным колебаниям количества хищников и жертв, графики при этом сдвинуты относительно друг друга. Посмотрите, например, данные о заготовке пушнины в Северной Америке, добытых Компанией Гудзонова залива:
Постройте модель хищник–жертва, подберите параметры модели так, чтобы были видны волнообразные колебания. Постройте график обоих популяций.
Постройте модель из трех биологических видов: растительность, травоядные, хищники. Растительность имеет фиксированный прирост (неэкспоненциальный), можно добавить отрицательный коэффициент, препятствующий неограниченному росту растительности. Травоядные поедают растительность, хищники поедают травоядных.
Постройте какие-нибудь красивые типичные графики динамики такой модели.